[논문 리뷰] Weighted trace cochains; a geometric setup for anomalies

Sylvie Paycha|ArXiv.org|2005. 03. 14.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정규화된 추적을 통해 미분형 연산자에서 발생하는 대수적 및 기하적 이면을 분석하기 위한 기하적 프레임워크로 가중 추적 코체인을 도입한다. 정규화된 추적을 양의 순서를 가진 타원형 연산자 Q에 의해 가중된 다중선형 코체인으로 확장함으로써, 호크실드 코경계(대수적)와 코바리언트 도함수(기하적)에서 기인하는 오차가 유한한 Wodzicki 잔여물의 선형 조합임을 보이며, 메린 변환과 열핵의 점근 전개를 통해 명시적인 공식을 유도한다.

ABSTRACT

We extend formulae which measure discrepancies for regularized traces on classical pseudodifferential operators to regularized trace cochains, regularized traces corresponding to 0-regularized trace cochains. This extension from 0-cochains to $n$-cochains is appropriate to handle simultaneously algebraic and geometric discrepancies/anomalies. Algebraic anomalies are Hochschild coboundaries of regularized trace cochains on a fixed algebra of pseudodifferential operators weighted by a fixed classical pseudodifferential operator with positive order and positive scalar leading symbol. In contrast, geometric anomalies arise when considering families of pseudodifferential operators associated with a smooth fibration of manifolds. They correspond to covariant derivatives (and possibly their curvature) of smooth families of regularized trace cochains, the weight being here an elliptic operator valued form on the base manifold. Both types of discrepancies can be expressed as finite linear combinations of Wodzicki residues.We apply the formulae obtained in the family setting to build Chern-Weil type weighted trace cochains on one hand, and on the other hand, to show that choosing the curvature of a Bismut-Quillen type super connection as a weight, provides covariantly closed weighted trace cochains in which case the geometric discrepancies vanish.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 기하학과 양자장 이론에서의 이면을 분석하기 위한 통합된 기하적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 가중 연산자 Q를 사용하여 0-코체인(추적)에서의 정규화된 추적 함수기능을 n-코체인(다중선형 형식)으로 확장하기 위해.
• 대수적 이면(Hochschild 코경계에서 기인함)과 기하적 이면(코체인의 가속도 가중치의 코바리언트 도함수)을 구분하고 특성화하기 위해.
• 두 유형의 이면이 모두 유한한 Wodzicki 잔여물의 선형 조합으로 표현될 수 있음을 보여주기 위해.
• Chern-Weil 유형의 가중 추적 코체인을 구성하고, 기하적 이면가 사라지는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 단체 Δₙ에서 t ↦ tr(A₀e⁻ᵗᵘ₀Q⋯Aₙe⁻ᵗᵘₙQ)의 다중선형 형식의 메린 변환의 유한부로 정의된 가중 추적 코체인 χⁿ^Q를 정의한다.
• 열핵의 메린 변환을 사용하여 z ↦ χ̄ₙ,ₚ(z)의 유리형 함수를 정의하며, 이들의 잔여물을 통해 연산자 곱의 Wodzicki 잔여물을 산출한다.
• χⁿ^Q(A₀,…,Aₙ)에 대한 명시적 공식을 유도하며, 이는 tr^Q(A₀⋯Aₙ)에 더하여 Q⁻|k| 및 Aᵢ⁽ᵏⁱ⁾의 수반 작용을 포함하는 보정 항들의 유한합으로 표현된다.
• Hochschild 코경계 bχ²ᵖ^Q를 Q⁻|k|⁻¹ 및 고차 수반 도함수를 포함하는 Wodzicki 잔여물의 유한합으로 표현한다.
• 부드러운 피브레이션 위의 대수족에 대해 이 형식을 적용하며, 기하적 이면을 기저 다각형의 연결에 대한 코체인의 코바리언트 도함수로 해석한다.
• Bismut-Quillen 초연결의 곡률을 가중치 Q로 선택할 경우, 코바리언트로 닫힌 코체인이 되어 기하적 이면이 제거됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 추적을 다중선형 코체인으로 일반화하여, 미분형 연산자에서 발생하는 대수적 및 기하적 이면을 모두 포괄할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 순환 추적과 가중 추적 코체인 간의 오차의 정확한 구조는 무엇이며, 국소 불변량으로 어떻게 표현되는가?
• RQ3 가중 연산자 Q가 존재할 때, 대수적 이면(Hochschild 코경계에서 기인함)은 Wodzicki 잔여물과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 부드러운 대수족의 맥락에서, 기하적 이면는 가중 추적 코체인의 코바리언트 도함수로 어떻게 특성화되는가?
• RQ5 기하적 이면가 사라지는 조건은 무엇이며, 초연결의 곡률은 이러한 상황에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 가중 추적 코체인 χⁿ^Q(A₀,…,Aₙ)는 tr^Q(A₀⋯Aₙ)에 더하여 Q⁻|k| 및 Aᵢ의 고차 수반 도함수를 포함하는 Wodzicki 잔여물의 유한합으로 표현된다.
• 2p-코체인의 Hochschild 코경계 bχ²ᵖ^Q는 (−1)^|k| |k|! / (k+1)! 계수와 Q의 거듭제곱을 포함하는 Wodzicki 잔여물의 유한선형 조합이다.
• p=0일 때, 대수적 이면 (b tr^Q)(A,B)는 k에 대한 합으로서 (−1)^k / (k+1) × AB⁽ᵏ⁺¹⁾Q⁻ᵏ⁻¹의 Wodzicki 잔여물의 합으로 표현된다.
• 가족 내 기하적 이면는 코체인의 코바리언트 도함수로 기록되며, 가중치가 Bismut-Quillen 초연결의 곡률일 경우 사라진다.
• 이 구성은 초연결의 곡률이 가중치일 경우 (b,B)-이중복합체에 대해 닫힌 Chern-Weil 유형의 가중 추적 코체인을 생성한다.
• 다중선형 형식의 메린 변환 공식은 χ̄ₙ,ₚ(z) ≃ Γ(z+n) TR(A₀⋯Aₙ Q⁻ⁿ⁻ᶻ) + ∑ Q⁻ⁿ⁻|k|⁻ᶻ의 TR 및 고차 수반 작용을 포함하는 항들의 합으로 표현된다.