[논문 리뷰] Weighted Traces on Algebras of Pseudo-Differential Operators and Geometry of Loop Groups

Alexander Cardona, C. Ducourtioux외 2명|arXiv (Cornell University)|2000. 01. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 8인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 양성 가역 타원형 연산자 Q를 사용한 제타-정규화된 추적을 통해 고전적 미분형 연산자 위에 가중 추적을 도입하여, 무한차원 루프 군에 대한 기하학적 프레임워크를 가능하게 한다. 이 추적을 통해 Radul 및 Schwinger 코사이클을 확장하고, 그들의 코homological 의미를 규명하며, 역행성 연산자 공간의 기본군이 Grothendieck 군 $ K_0(S^*M) $과 동형임을 증명함으로써, 지수 이론을 통해 연산자 이론과 위상수학을 연결한다.

ABSTRACT

Using {\it weighted traces} which are linear functionals of the type $$A o tr^Q(A):=(tr(A Q^{-z})-z^{-1} tr(A Q^{-z}))_{z=0}$$ defined on the whole algebra of (classical) pseudo-differential operators (P.D.O.s) and where $Q$ is some positive invertible elliptic operator, we investigate the geometry of loop groups in the light of the cohomology of pseudo-differential operators. We set up a geometric framework to study a class of infinite dimensional manifolds in which we recover some results on the geometry of loop groups, using again weighted traces. Along the way, we investigate properties of extensions of the Radul and Schwinger cocycles defined with the help of weighted traces.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 다양체, 특히 루프 군에 대해 가중 추적을 사용한 기하학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 가중 추적을 사용하여 Radul 및 Schwinger 코사이클을 확장하고 그 코homological 성질을 분석하기 위해.
• 기본군 계산을 통해 역행성 타원형 연산자 공간의 위상적 구조를 조사하기 위해.
• 제타-정규화된 추적과 Wodzicki 잔여치를 무한차원 곡률 및 특성류와 연결하기 위해.
• 기호 공간과 연산자 공간 사이의 호모토피 동치를 확립하여, 기호 공간에서 위상적 불변량을 도출할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 타원형 연산자의 제타 함수를 정규화하기 위해 $ \mathrm{tr}^Q(A) := \left( \mathrm{tr}(AQ^{-z}) - z^{-1} \mathrm{tr}(AQ^{-z}) \right)_{z=0} $ 로 정의된 가중 추적을 정의한다.
• 제타-정규화된 추적을 사용하여 커런트 군에서 리치 곡률과 루프 군에서 첫 번째 체르니 형식을 정의한다.
• 가중 추적을 통해 고전적 미분형 연산자 전체 대수 위에 이중선형 함수형을 구성하고, 기존의 코사이클을 확장한다.
• 호모토피 동치를 통해 기호 공간과 연산자 공간 사이의 관계를 이용하여, 역행성 타원형 연산자 공간의 기본군이 $ K_0(S^*M) $과 동형임을 증명한다.
• 연속적인 변형 $ F(A,s) = (1-s)\mathrm{Op}(\sigma_P(A)) + sA $ 을 통해 항등사상과 $ g \circ f $ 사이의 호모토피를 구축하며, 컴팩트 편향을 고려한다.
• 결과 $ \Pi_1(GL_N({\cal A})) \simeq K_0({\cal A}) $ 를 $ C(S^*M) $ 에 적용하여 $ \Pi_1(S_P\mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,1_N)) \simeq K_0(S^*M) $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중 추적을 사용하여 무한차원 루프 군 위에 기하학적 구조를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 가중 추적이 Radul 및 Schwinger 코사이클을 확장하는 데 있어 코homological 역할은 무엇인가?
• RQ3 제타-정규화된 추적은 무한차원 기하학에서 곡률과 특성류와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 역행성 타원형 연산자 공간의 기본군은 무엇이며, 기호 공간을 통해 어떻게 계산되는가?
• RQ5 가중 추적은 루프 군과 커런트 군의 위상적 불변량을 어느 정도 반영하는가?

주요 결과

• 역행성 타원형 연산자 공간의 궤도로 연결된 성분의 기본군은 $ K_0(S^*M) $, 즉 코스피어 버블의 연속 함수의 그로텐디크 군과 동형이다.
• 가중 추적 구성은 고전적 미분형 연산자 전체 대수 위에 이중선형 함수형을 유도하며, 이는 부분대수 $ g_{\mathrm{res}} $ 에서 비틀린 Radul 및 Schwinger 코사이클로 제한된다.
• 가중 추적이 진정한 추적으로서의 성질을 갖지 못하는 장애는 Wodzicki 잔여치를 통해 표현되는 코바운더리로 측정되며, 이는 Radul 코사이클의 일반화이다.
• 역행성 타원형 연산자 공간 $ S_P\mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,E) $ 는 기호 사상과 연산자 복원 사상 사이의 호모토피 동치로 인해 $ \mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,E) $ 와 동일한 기본군을 가진다.
• 항등사상과 $ g \circ f $ 사이의 호모토피는 연속 경로 $ F(A,s) = \mathrm{Op}(\sigma_P(A))(1 + \phi(s)K) $ 를 통해 구성되며, 여기서 $ \phi(s) $ 는 컴팩트 편향 $ K $ 의 스펙트럼에서 특이점을 피한다.
• 큰 $ N $ 에 대해, 질량이 $ N $ 인 자명한 범주에서의 역행성 타원형 연산자 공간의 기본군은 $ K_0(S^*M) $ 과 동형이며, 이는 비자명한 위상적 구조를 확인한다.