[논문 리뷰] Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space II. Kahler potential and period mapping

Leon A. Takhtajan, Lee-Peng Teo|ArXiv.org|2004. 06. 21.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유니버설 테이히뮐러 공간 $T_0(1)$ 위의 Weil-Petersson 계량을 힐버트 다양체로 설정하여, 유니버설 리우빌 작용 $\mathsf{S}_1$ 가 그 카일러 포텐셜임을 증명한다. 또한 $\ell^2$ 위의 유계 연산자 공간으로의 헬름홀로픽 유니버설 주기 매핑 $\hat{\mathscr{P}}$ 를 정의하고, 이가 KYNS 주기 매핑과 일치하며 $T_0(1)$ 를 세갈-윌슨 그라스만이안에 매립함을 보이며, 대칭 호메오모르피즘의 이미지는 컴팩트 연산자로 매핑됨을 밝힌다.

ABSTRACT

We study the Hilbert manifold structure on $T_{0}(1)$ -- the connected component of the identity of the Hilbert manifold T(1). We characterize points on $T_{0}(1)$ in terms of Bers and pre-Bers embeddings, and prove that the Grunsky operators $B_{1}$ and $B_{4}$, associated with the points in $T_{0}(1)$ via conformal welding, are Hilbert-Schmidt. We define a ``universal Liouville action'' -- a real-valued function $\SSS_{1}$ on $T_{0}(1)$, and prove that it is a Kähler potential of the Weil-Petersson metric on $T_{0}(1)$. We also prove that $\SSS_{1}$ is $- frac{1}{12π}$ times the logarithm of the Fredholm determinant of associated quasi-circle, which generalizes classical results of Schiffer and Hawley. We define the universal period mapping $\hat{\cP}: T(1) o\cB(\ell^{2})$ of T(1) into the Banach space of bounded operators on the Hilbert space $\ell^{2}$, prove that $\hat{\cP}$ is a holomorphic mapping of Banach manifolds, and show that $\hat{\cP}$ coincides with the period mapping introduced by Kurillov and Yuriev and Nag and Sullivan. We prove that the restriction of $\hat{\cP}$ to $T_{0}(1)$ is an inclusion of $T_{0}(1)$ into the Segal-Wilson universal Grassmannian, which is a holomorphic mapping of Hilbert manifolds. We also prove that the image of the topological group $S$ of symmetric homeomorphisms of $S^{1}$ under the mapping $\hat{\cP}$ consists of compact operators on $\ell^{2}$.

연구 동기 및 목표

• 유니버설 테이히뮐러 공간 $T(1)$ 의 항등원을 포함하는 연결성분인 $T_0(1)$ 의 힐버트 다양체 구조를 특성화하기 위해.
• 유니버설 리우빌 작용 $\mathsf{S}_1$ 가 $T_0(1)$ 위의 Weil-Petersson 계량에 대한 카일러 포텐셜임을 정의하고 증명하기 위해.
• 유니버설 주기 매핑 $\hat{\mathscr{P}}$ 를 $T(1)$ 에서 $\mathscr{B}(\ell^2)$ 로 정의하고, KYNS 및 나그-설리반 구성과의 호환성을 보여주기 위해.
• $S^1$ 의 대칭 호메오모르피즘 군 $S$ 에서 $\hat{\mathscr{P}}$ 로의 이미지가 $\ell^2$ 위의 컴팩트 연산자로 구성됨을 증명하기 위해.
• 점들 $T_0(1)$ 과 관련된 그룬스키 연산자 $B_1$ 과 $B_4$ 가 힐베르트-슈미트임을 보이고, 이를 프레드홀름 행렬식과 고전적 결과들과 연결하기 위해.

제안 방법

• pre-Bers 매핑 $\hat{\beta}$ 를 통해 $T_0(1)$ 를 특성화하고, 이가 대칭 호메오모르피즘 군 $S$ 의 부분군임을 보임.
• Becker-Pommerenke 정리와 Gardiner-Sullivan 특성화를 사용하여 $T_0(1)$ 을 복소함수의 제곱적분 가능한 도함수를 가진 힐베르트 공간 $A_2^1(\mathbb{D})$ 와 $A_2^1(\mathbb{D}^*)$ 와 연결함.
• 유니버설 리우빌 작용 $\mathsf{S}_1$ 을 $T_0(1)$ 상의 실수 함수로 정의하고, 이가 Weil-Petersson 계량에 대한 카일러 포텐셜임을 증명함.
• 특히 $\mathsf{S}_1 = -\frac{1}{12\pi} \log \det_{\text{Fredholm}}(I - B_1 B_1^*)$ 를 증명하여, 슈피퍼와 하웨일의 결과를 일반화함.
• 그룬스키 연산자를 사용하여 $\hat{\mathscr{P}}: T(1) \to \mathscr{B}(\ell^2)$ 를 정의하고, 이가 바나흐 다양체 사상으로서 헬름홀로픽임을 보임.
• $\hat{\mathscr{P}}$ 의 $T_0(1)$ 에 대한 제약이 세갈-윌슨 유니버설 그라스만이안으로의 힐베르트 다양체 매립임을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니버설 리우빌 작용 $\mathsf{S}_1$ 는 $T_0(1)$ 위의 Weil-Petersson 계량에 대한 카일러 포텐셜인가?
• RQ2 점들 $T_0(1)$ 과 관련된 그룬스키 연산자 $B_1$ 과 $B_4$ 는 힐베르트-슈미트 및 프레드홀름 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 유니버설 주기 매핑 $\hat{\mathscr{P}}$ 는 KYNS 및 나그-설리반 주기 매핑과 일치하는가?
• RQ4 대칭 호메오모르피즘 군 $S$ 가 $\hat{\mathscr{P}}$ 로 매핑될 때의 이미지는 무엇인가?
• RQ5 $I - B_1 B_1^*$ 의 프레드홀름 행렬식은 $\mathsf{S}_1$ 으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 유니버설 리우빌 작용 $\mathsf{S}_1$ 는 $T_0(1)$ 위의 Weil-Petersson 계량에 대한 카일러 포텐셜이며, 명시적으로 $\mathsf{S}_1 = -\frac{1}{12\pi} \log \det_{\text{Fredholm}}(I - B_1 B_1^*)$ 로 주어진다.
• 점들 $T_0(1)$ 과 관련된 그룬스키 연산자 $B_1$ 과 $B_4$ 는 힐베르트-슈미트이며, 그들의 프레드홀름 행렬식은 유니버설 리우빌 작용을 통해 카일러 포텐셜과 연결된다.
• 유니버설 주기 매핑 $\hat{\mathscr{P}}: T(1) \to \mathscr{B}(\ell^2)$ 는 바나흐 다양체로서의 헬름홀로픽 사상이며, KYNS 및 나그-설리반 주기 매핑과 일치한다.
• $\hat{\mathscr{P}}$ 의 $T_0(1)$ 에 대한 제약은 세갈-윌슨 유니버설 그라스만이안으로의 힐베르트 다양체 매립으로서 실현된다.
• $S^1$ 의 대칭 호메오모르피즘 군 $S$ 가 $\hat{\mathscr{P}}$ 로 매핑되는 이미지는 $\ell^2$ 위의 컴팩트 연산자들의 아이디얼 $\mathscr{S}_\infty$ 에 포함된다.
• 주기 매핑 $\hat{\mathscr{P}}$ 는 연속적이며, 임베딩의 타워 $T_0(1) \hookrightarrow S \hookrightarrow T(1)$ 를 존중하며, 모든 사상들이 헬름홀로픽이고 Bers 및 pre-Bers 매핑과 호환된다.