[논문 리뷰] Well-conditioned multiproduct Hamiltonian simulation

Guang Hao Low, Vadym Kliuchnikov외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 28인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 하미르토니안 시뮬레이션을 위한 잘 조절된 다중곱 공식을 제안하며, 곱 공식과 LCU 방법의 장점을 결합한다. 다항수준의 쿼리 비용과 성공 확률 Ω(1/log²m)을 갖는 저차수 곱 공식의 선형 조합을 사용함으로써, 최악의 경우 게이트 비용 O(t log²(t/ε))를 달성하며, 이는 로그 인자에 비례하는 요소를 제외하고 최적이다. 이는 이전에 지수적 오차 증폭과 성공 확률의 감소를 야기했던 장기적인 조건 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Product formula approximations of the time-evolution operator on quantum computers are of great interest due to their simplicity, and good scaling with system size by exploiting commutativity between Hamiltonian terms. However, product formulas exhibit poor scaling with the time $t$ and error $ε$ of simulation as the gate cost of a single step scales exponentially with the order $m$ of accuracy. We introduce well-conditioned multiproduct formulas, which are a linear combination of product formulas, where a single step has polynomial cost $\mathcal{O}(m^2\log{(m)})$ and succeeds with probability $Ω(1/\operatorname{log}^2{(m)})$. Our multiproduct formulas imply a simple and generic simulation algorithm that simultaneously exploits commutativity in arbitrary systems and has a worst-case cost $\mathcal{O}(t\log^{2}{(t/ε)})$ which is optimal up to poly-logarithmic factors. In contrast, prior Trotter and post-Trotter Hamiltonian simulation algorithms realize only one of these two desirable features. A key technical result of independent interest is our solution to a conditioning problem in previous multiproduct formulas that amplified numerical errors by $e^{Ω(m)}$ in the classical setting, and led to a vanishing success probability $e^{-Ω(m)}$ in the quantum setting.

연구 동기 및 목표

• 양자 하미르토니안 시뮬레이션에서 고차수 곱 공식의 지수적 게이트 비용과 열악한 스케일링 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 다중곱 공식에서 악조건화로 인한 수치적 불안정성과 지수적으로 작은 성공 확률 문제를 극복하기 위해.
• 국소 시스템에서의 교환성을 동시에 활용하고 시간 및 오차에 대해 거의 최적의 스케일링을 달성하는 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 구성 증명을 통해 다항수준의 쿼리 비용과 강건한 성공 확률를 갖는 잘 조절된 다중곱 공식을 구성하기 위해.

제안 방법

• 계수 a_j와 지수 k_j로 매개변수화된 대칭 제2차 곱 공식의 선형 조합을 다중곱 공식으로 제안한다.
• 구성 증명을 사용하여 임의의 차수 2m에 대해 잘 조절된 다중곱 공식이 존재함을 보이며, 계수와 지수는 로그 크기임을 보인다.
• 성공 확률 Ω(1/log²m)을 갖는 단일 단계를 달성하기 위해 강건한 무관심 진폭 증폭을 사용하여 다중곱 공식을 구현한다.
• 쿼리 비용을 ||k||_1에서 max_j k_j로 줄이기 위해 프ogrammable 회전을 사용하는 양자 회로를 설계함으로써 효율적인 구현을 가능하게 한다.
• m과 오버헤드 O(m² log²m) 사이의 균형을 맞추기 위해 차수 m에 대해 최적화하여 최악의 경우 비용 O(t log²(t/ε))를 달성한다.
• 지수적으로 정밀한 산술이 필요하지 않도록 항의 상쇄를 보장함으로써 조건 문제를 해결하여 e^Ω(m) 오차 증폭을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중곱 공식을 구성할 수 있는가? 이는 양자 구현에서 다항수준의 비용과 소멸하지 않는 성공 확률을 갖는다.
• RQ2 고차수 다중곱 공식에서 발생하는 조건 문제를 해결할 수 있는가? 이는 지수적 오차 증폭과 성공 확률의 소멸을 방지한다.
• RQ3 시간과 오차에 대해 최적의 스케일링을 동시에 달성하고, 교환성을 통해 시스템 크기와 양호한 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ4 정확도를 유지하면서 다중곱 공식의 게이트 비용을 O(t log²(t/ε))로 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 잘 조절된 다중곱 공식은 최악의 경우 게이트 비용 O(t log²(t/ε))를 달성하며, 다항로그 인자에 비례하는 요소를 제외하고 최적이다.
• 다중곱 공식의 단일 단계는 비용 O(m² log m)를 가지며, 성공 확률 Ω(1/log²m)을 갖는다. 이는 효율적으로 증폭할 수 있다.
• 이전의 양자 구현에서 e^Ω(m) 오차 증폭과 성공 확률 e^−Ω(m)을 야기했던 조건 문제를 이 방법이 해결한다.
• 기존 방법이 이중으로 기능을 달성하는 데 실패한 것과 달리, 이 알고리즘은 국소 시스템의 교환성을 동시에 활용하고 시간 및 오차에 대해 거의 최적의 스케일링을 달성한다.
• 차수 15까지의 다중곱 공식에 대한 명시적 구성이 제공되며, 계수와 지수는 로그 크기로 수치적 안정성을 보장한다.
• 프로그래머블 회전을 사용한 회로 최적화로 쿼리 비용을 ||k||_1에서 max_j k_j로 줄였으며, 쿼리 복잡도에 대해 로그 이하의 개선을 제공한다.