[논문 리뷰] Well-posedness and large deviation for degenerate SDEs with Sobolev coefficients

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소볼레프 클래스의 비선형성과 분산 계수를 가진 열화된 스토케스틱 미분 방정식(SDEs)에 대해 잘 정의된 문제를 확립하며, 디피나-라온스 이론을 SDE 설정으로 확장한다. 또한 약한 수렴 방법과 지수 함수 기능의 변분 표현을 이용하여 이러한 SDEs에 대해 프라이드린-웬츠 유형의 대규모 편차 원리(LDP)를 증명한다.

ABSTRACT

In this article we prove the existence and uniqueness for degenerate stochastic differential equations with Sobolev (possibly singular) drift and diffusion coefficients in a generalized sense. In particular, our result covers the classical DiPerna-Lions flows and, we also obtain the well-posedness for degenerate Fokker-Planck equations with irregular coefficients. Moreover, a large deviation principle of Freidlin-Wenzell type for this type of SDEs is established.

연구 동기 및 목표

• 비정규 또는 비연속일 수 있는 소볼레프 계수를 가진 열화된 SDEs에 대해 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 소볼레프 벡터장이 있는 ODEs에 대한 디피나-라온스 이론을 이토 및 스트라토노비치 SDE 설정으로 일반화하는 것.
• 비정규 계수를 가진 열화된 SDEs에 대해 프라이드린-웬츠 유형의 대규모 편차 원리(LDP)를 증명하여 고전적 LDP 결과를 열화되고 특이한 경우로 확장하는 것.
• 일반화된 스토케스틱 플로우 개념을 통해 비정규 계수를 가진 열화된 SDEs와 포커-플랑크 방정식을 통합적으로 다루는 것.
• 비율 계수의 발산에 다항식 성장이 있는 경우와 계수들이 $W^{1,1}_{\text{loc}}$에 속할 경우에 대해 잘 정의됨과 LDP 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 비정규 계수를 가진 SDEs의 해를 정의하기 위해 $\mu$-거의 전역적(stochastic flow)의 일반화된 개념을 사용한다.
• 프라이드린-웬츠 LDP를 증명하기 위해 두푸아 및 엘리스의 약한 수렴 방법을 적용하며, 지수 기능의 변분 표현에 의존한다.
• 오르소드와 SDE 해를 일반화된 의미에서 연결하기 위해 브라운 운동의 선형화 기법을 활용한다.
• 크리파-델렐리스 접근법을 사용하여 하르디-리틀우드 최대 함수를 통해 비율 계수의 소볼레프 정규성을 다룬다.
• $\varepsilon$-정규화된 과정을 이용한 변형 방법을 구현하고, 수렴이 확률적으로 $X^h$로 이루어지는 근사 해의 수열 $X^{\varepsilon}$를 구성한다.
• 스코로호드의 표현 정리를 적용하여 약한 수렴하는 제어를 새로운 확률 공간에서 거의 확실히 수렴하도록 변환하여 LDP 증명을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 또는 비연속일 수 있는 $W^{1,1}_{\text{loc}}$ 계수를 가진 열화된 SDEs에 대해 잘 정의된 문제를 확립할 수 있는가?
• RQ2 소볼레프 계수와 열화된 분산을 가진 ODEs에 대한 디피나-라온스 이론은 스토케스틱 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 특히 분산이 균일하게 비퇴화되지 않을 경우, 비정규 계수를 가진 열화된 SDEs에 대해 프라이드린-웬츠 대규모 편차 원리(LDP)를 증명할 수 있는가?
• RQ4 SDE 접근법을 통해 비정규 계수를 가진 열화된 포커-플랑크 방정식의 잘 정의됨을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 $\mu$-거의 전역적 스토케스틱 플로우 개념이 비정규 계수를 다루고 근사에 대한 안정성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 $b \in W^{1,1}_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^d)$ 이고 $\sigma$ 가 $p>1$ 인 $W^{1,p}_{\text{loc}}$ 에 속할 때, 비연속일 수 있는 경우에도 열화된 SDEs에 대해 $\mu$-거의 전역적(stochastic flow)의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 잘 정의됨 결과는 고전적인 디피나-라온스 이론을 SDE 설정으로 확장하며, 발산에 다항식 성장이 있는 경우를 포함한다.
• 약한 수렴 방법과 지수 기능의 변분 표현을 사용하여 이러한 SDEs에 대해 프라이드린-웬츠 대규모 편차 원리(LDP)를 확립한다.
• 서브시퀀스 추론과 스코로호드 정리를 통해 $X^{\varepsilon}$ 가 확률적으로 $X^h$로 수렴함을 보여, LDP 증명을 가능하게 한다.
• Lp-노름에서의 균일한 추정과 정규화된 시험 함수 $\xi$의 기울기 및 헤시안에 대한 유계성에 의존하며, 상수들은 $\delta \to 0$ 일 때 감소한다.
• 변형된 과정의 수렴을 증명하는 데 핵심적인 추정식 $\mathbb{E} \int_{B_N \cap G_R^\varepsilon} \sup_t |I_3^\varepsilon(t,x)| \mu(dx) \leq C(\varepsilon)/\delta^3$ 이며, $C(\varepsilon) \to 0$ 일 때 $\varepsilon \to 0$ 이다.