[논문 리뷰] Well-Posedness for Some Non-Linear Diffusion Processes and Related PDE on the Wasserstein Space

Paul-Éric Chaudru de Raynal, Noufel Frikha|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 계수의 미약한 정규성 조건 하에, 완비 거리공간 위의 고정점 추론을 사용하여 비선형 McKean-Vlasov SDE 및 관련 선형 PDE의 잘 정의됨을 확립한다. 전이 밀도의 존재성과 미분에 대한 가우시안 유형의 경계를 포함한 매끄러움을 증명하였으며, 비정규 데이터를 가진 선형 초기값 문제에 대한 존재성과 유일성도 확립하였다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the well-posedness of the martingale problem associated to non-linear stochastic differential equations (SDEs) in the sense of McKean-Vlasov under mild assumptions on the coefficients as well as classical solutions for a class of associated linear partial differential equations (PDEs) defined on $[0,T] imes \mathbb{R}^d imes \mathcal{P}\_2(\mathbb{R}^d)$, for any $T>0$, $\mathcal{P}\_2(\mathbb{R}^d)$ being the Wasserstein space (i.e. the space of probability measures on $\mathbb{R}^d$ with a finite second-order moment). In this case, the derivative of a map along a probability measure is understood in the Lions' sense. The martingale problem is addressed by a fixed point argument on a suitable complete metric space, under some mild regularity assumptions on the coefficients that covers a large class of interaction. Also, new well-posedness results in the strong sense are obtained from the previous analysis. Under additional assumptions, we then prove the existence of the associated density and investigate its smoothness property. In particular, we establish some Gaussian type bounds for its derivatives. We eventually address the existence and uniqueness for the related linear Cauchy problem with irregular terminal condition and source term.

연구 동기 및 목표

• 비선형 McKean-Vlasov SDE에 대해 계수의 미약한 정규성 조건 하에서 약한 및 강한 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 해당 SDE의 전이 밀도 존재성과 매끄러움을 증명하고, 도함수에 대한 가우시안 유형의 경계를 확립하기 위해.
• 비정규 종단 조건과 소스 항을 가진 워샤르스탄 공간 상의 선형 초기값 문제를 해결하기 위해.
• Lions의 확률측도 미분법을 사용하여 파라메트릭스 기법을 평균장 설정으로 확장하기 위해.
• 완비 거리공간 상의 확률측도 집합에서 고정점 추론을 통해 마틴갈 문제 공식화를 다루기 위해.

제안 방법

• Lions의 미분을 사용하여 워샤르스탄 공간 상에서 McKean-Vlasov SDE의 마틴갈 문제를 수립하기 위해.
• 완비 거리공간 상의 확률측도 집합에서 고정점 추론을 적용하여 약한 유일성을 증명하기 위해.
• 편미분 분석을 위한 편형식 전이 밀도를 파라메트릭스 방법 기반으로 사용하기 위해.
• 시간과 공간 증분을 제어하기 위해 시공간 부등식과 헬더 연속성 추정을 활용하기 위해.
• 반복적 추정과 열핵 비교를 통해 밀도 및 그 도함수에 대한 가우시안 유형의 경계를 유도하기 위해.
• 쌍대성과 정규성 전이를 통해 SDE 분석에서 유도된 비정규 종단 및 소스 데이터를 가진 워샤르스탄 공간 상의 선형 PDE에 대한 존재성과 유일성을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 McKean-Vlasov SDE의 마틴갈 문제는 계수에 대해 어떤 미약한 정규성 조건 하에 고유한 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 이러한 SDE와 관련된 전이 밀도의 매끄러움성과 감쇠 성질은 무엇인가?
• RQ3 평균장 설정에서 전이 밀도 도함수에 대해 가우시안 유형의 경계를 확립할 수 있는가?
• RQ4 비선형 확산을 위한 파라메트릭스 방법은 워샤르스탄 공간 프레임워크로 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 비정규 데이터를 가진 워샤르스탄 공간 상의 선형 초기값 문제에 대해 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 계수에 대한 미약한 정규성 조건, 즉 측도 변수에 대한 시간과 공간에서의 헬더 연속성 조건 하에, 비선형 McKean-Vlasov SDE의 마틴갈 문제는 잘 정의됨을 입증하였다.
• 전이 밀도가 존재하고 매끄럽으며, 도함수는 $ C(t-s)^{-n/2} e^{-c|z-x|^2/(t-s)} $ 형태의 가우시안 유형 경계를 만족한다. 여기서 $ n $ 은 도함수의 차수이다.
• 밀도 및 그 도함수는 시간과 공간에서 헬더 연속성을 보이며, 헬더 지수 $ \eta $ 와 시간 간격 $ t-s $ 에 대한 명시적 의존성이 있다.
• 파라메트릭스 전개 기법이 성공적으로 평균장 설정으로 확장되었으며, 반복적 적분 표현을 통한 밀도 추정 유도가 가능해졌다.
• 비정규 종단 조건과 소스 항을 가진 워샤르스탄 공간 상의 선형 초기값 문제에 대해 고유한 해가 존재함을, 쌍대성과 SDE 분석에서 유도된 정규성 전이를 통해 입증하였다.
• 완비 거리공간 상의 확률측도 집합에서 고정점 추론을 통해, 비선형성, 비특이 확산 및 계수의 유계성 등의 추가 조건 하에 강한 잘 정의됨 결과를 확립하였다.