[논문 리뷰] Well-posedness of nolinear fractional Schrödinger and wave equations in Sobolev spaces

Van Duong Dinh|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 20.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 19인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$ 상에서 비선형 분수 슈뢰딩거 및 파동 방정식에 대해 임계 및 초임계 범위에서 국소적이고 전역적인 잘 정의성(local and global well-posedness)을 확립한다. 이는 이전 결과를 확장하여, $γ < d/2$ 인 소볼레프 공간 $H^\gamma$ 에서의 잘 정의성을 증명함으로써, $σ \in (0,2)\setminus\{1\}$ 및 $ν > 1$ 에 대해서도 성립함을 보이며, 소규모 임계 데이터에 대한 산산이 흩어짐(scattering)을 증명한다. 분석은 원자형 및 베소프 유형 함수 공간에서의 정밀한 스트리카르츠 추정과 고정점 원리에 기반한다.

ABSTRACT

We prove the well-posed results in sub-critical and critical cases for the pure power-type nonlinear fractional Schrödinger equations on $\mathbb{R}^d$. These results extend the previous ones in \cite{HongSire} for $σ\geq 2$. This covers the well-known result for the Schrödinger equation $σ= 2$ given in \cite{CazenaveWeissler}. In the case $σ\in (0,2)\backslash \{1\}$, we give the local well-posedness in sub-critical case for all exponent $ν&gt; 1$ in contrast of ones in \cite{HongSire}. This also generalizes the ones of \cite{ChoHwangKwonLee} when $d = 1$ and of \cite{GuoHuo} when $d \geq 2$ where the authors considered the cubic fractional Schrödinger equation with $σ\in (1,2)$. We also give the global existence in energy space under some assumptions. We finally prove the local well-posedness in sub-critical and critical cases for the pure power-type nonlinear fractional wave equations.

연구 동기 및 목표

• 비선형 분수 슈뢰딩거 및 파동 방정식의 잘 정의성 이론을 이전에 알려진 $σ \geq 2$ 범위를 초월하여 확장하는 것.
• 임계 및 초임계 케이스에서 $σ \in (0,2)\setminus\{1\}$ 이며 $ν > 1$ 인 경우 국소적 잘 정의성을 확립하여, 이전 결과에서 $d=1$ 에서 $ν \geq 2$ 및 $d \geq 2$ 에서 $ν \geq 3$ 가 요구되었던 조건을 개선하는 것.
• 적절한 조건 하에 분수 슈뢰딩거 방정식의 에너지 공간 $H^{\sigma/2}$ 에서 전역 존재성 및 산산이 흩어짐을 증명하는 것.
• 이전에 체계적으로 분석되지 않았던 비선형 분수 파동 방정식(NLFW)의 연구를 시작하고, 그 임계 및 초임계 범위에서의 국소적 및 전역적 잘 정의성을 확립하는 것.

제안 방법

• 함수를 주파수 공간에서 분해하고 $H^\gamma$ 및 $\dot{H}^\gamma$ 공간에서 정규성을 제어하기 위해 리틀우드-파일리 분해와 이분주파수 프로젝션 $P_N$ 을 활용한다.
• 특히 임계 및 초임계 범위에서 분수 슈뢰딩거 및 파동 전파자 $e^{\pm it\Lambda^\sigma}$ 에 대한 정밀한 스트리카르츠 추정을 적용한다.
• 함수의 $L^p(I, L^p)$, $C(I, \dot{H}^{\gamma})$, 및 $C^1(I, \dot{H}^{\gamma - \sigma})$ 노름이 유계인 완비 거리 공간 $Y$ 에서의 고정점 원리를 사용하며, 적절히 선택된 매개변수 $M$ 과 $N$ 을 활용한다.
• 비선형 항을 제어하고 반복 스킴의 수렴성을 증명하기 위해 수반 스트리카르츠 추정을 사용하여 존재성 및 유일성을 확보한다.
• 파동 방정식의 경우, 거리가 $L^\infty(I, \dot{H}^{\gamma})$ 와 $L^\nu(I, L^{2\nu})$ 노름을 조합한 공간 $Y$ 에서의 콘traction 사상 원리를 적용한다.
• 비선형 진화가 $t \to \pm\infty$ 로 갈수록 에너지 노름에서 수렴함을 보여 산산이 흩어짐을 증명한다. 이는 비선형 상호작용 항이 $L^1$-유사 노름에서 감쇠됨을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 분수 슈뢰딩거 방정식의 잘 정의성 이론은 $σ \in (0,2)\setminus\{1\}$ 이며 $ν > 1$ 인 경우에 대해 임계 및 초임계 케이스에서 $H^\gamma$ 공간에서 확장될 수 있는가?
• RQ2 임계 분수 슈뢰딩거 방정식에 대한 전역 존재성 및 산산이 흩어짐 결과는 비균일 데이터가 아닌 소규모 동차 데이터 $\dot{H}^{\sigma/2}$ 에서도 성립하는가?
• RQ3 비선형 분수 파동 방정식(NLFW)은 임계 및 초임계 범위에서 잘 정의되는가? 그리고 소규모 초기 데이터에 대해 산산이 흩어짐을 확립할 수 있는가?
• RQ4 비선형 분수 슈뢰딩거 방정식의 국소적 잘 정의성 결과는 $σ \in (0,2)\setminus\{1\}$ 이며 $ν > 1$ 인 경우에 대해 $\gamma < d/2$ 인 $H^\gamma$ 공간에서 이전에 알려진 $ν \geq 2$ 조건을 초월하여 증명될 수 있는가?
• RQ5 분수 파동 방정식에 대해 허용 가능한 스트리카르츠 추정의 최적 범위는 무엇이며, 임계 지수 $\nu = 1 + 4\sigma/(d - 2\sigma)$ 와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 비선형 분수 슈뢰딩거 방정식에 대해 임계가 아닌 경우에 대해 모든 $ν > 1$ 과 $σ \in (0,2)\setminus\{1\}$ 에 대해 국소적 잘 정의성이 확립되었으며, 이는 이전 결과에서 $d=1$ 에서 $ν \geq 2$ 및 $d \geq 2$ 에서 $ν \geq 3$ 가 요구되었던 것을 초월한다.
• 적절한 초기 데이터 및 비선형성 조건 하에 분수 슈뢰딩거 방정식에 대해 에너지 공간 $H^{\sigma/2}$ 에서 전역 존재성이 증명되었다.
• 소규모 동차 데이터 $\dot{H}^{\sigma/2}$ 를 갖는 임계 분수 슈뢰딩거 방정식에 대해 산산이 흩어짐이 증명되었으며, 이는 이전 결과에서 비균일 데이터가 요구되었던 것을 개선한다.
• 비선형 분수 파동 방정식에 대해 국소적 잘 정의성이 임계 및 초임계 범위에서 증명되었으며, 이는 $L^\infty(I, \dot{H}^{\gamma_{\text{w}}})$ 와 $L^\nu(I, L^\nu)$ 노름이 유계인 함수 공간에서의 고정점 원리를 통해 이루어졌다.
• 소규모 초기 데이터 $\dot{H}^\sigma \times L^2$ 를 갖는 임계 분수 파동 방정식에 대해 산산이 흩어짐이 증명되었으며, 이는 비선형 진화가 $t \to \pm\infty$ 로 갈수록 에너지 노름에서 수렴함을 보여 증명하였다.
• 임계 지수 $\nu = 1 + 4\sigma/(d - 2\sigma)$ 가 파동 방정식에 대해 최적이며, 쌍 $(\nu, 2\nu)$ 가 스트리카르츠 추정에서 허용 가능하다는 것이 입증되었다.