[논문 리뷰] Well-posedness of supercritical SDE driven by Lévy processes with irregular drifts

Zhen-Qing Chen, Xicheng Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 비퇴화적인 $\alpha$-스테이블 유사 레비 과정에 의해 구동되는 초임계(stochastic differential equations, SDEs)의 일종에 대해, 시간에 따라 변화하는 호일더 연속성의 비율 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$을 가진 비라운드 드리프트를 갖는 경우, 강한 잘 정의된 문제의 성립을 확립한다. 이때 분산 계수는 균일 타원성과 리프시츠 연속성을 만족한다. 주요 결과는 드리프트가 리프시츠가 아니어도 강한 해의 존재성과 경로 유일성을 보장한다는 것이다. 이는 이전 결과를 비라운드 계수를 가진 초임계 영역으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the following time-dependent stochastic differential equation (SDE) in ${\bf R}^d$: $$ d X_{t}= σ_t(X_{t-}) d Z_t + b_t(X_{t})d t, \quad X_{0}=x\in {\bf R}^d, $$ where $Z$ is a $d$-dimensioanl nondegenerate $α$-stable-like process with $α\in(0,2)$ (including cylindrical case), and uniform in $t\geq 0$, $x\mapsto σ_t(x): {\bf R}^d o {\bf R}^d\otimes {\bf R}^d$ is Lipchitz and uniformly elliptic and $x\mapsto b_t (x)$ is $β$-order Hölder continuous with $β\in(1-α/2,1)$. Under these assumptions, we show the above SDE has a unique strong solution for every starting point $x \in {\bf R}^d$. When $σ_t (x)={\bf I}_{d imes d}$, the $d imes d$ identity matrix, our result in particular gives an affirmative answer to the open problem of Priola (2015).

연구 동기 및 목표

• 비라운드 드리프트를 갖는 초임계 SDE에 대해 강한 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 드리프트가 리프시츠가 아니라 호일더 연속성의 지수 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$을 만족할 경우, 강한 잘 정의된 문제의 열린 문제를 해결하는 것.
• 순수 점프 레비 노이즈를 가진 초임계 영역으로 Zvonkin 변환과 노이즈에 의한 정규화 기법을 확장하는 것.
• 지역화, 정지시간 논증, 드리프트에 대한 베소프 공간 추정을 조합하여 비리프시츠 드리프트 케이스를 다루는 것.
• 비가우시안, 초임계 레비 노이즈를 가진 비라운드 계수를 갖는 SDE의 일반적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 과정이 너무 멀리 점프하지 않는 영역에서 해를 구축하기 위해 정지시간 $\tau_n$의 수열에 대한 지역화와 귀납적 논증을 사용한다.
• SDE의 해를 보장하기 위해, 정규화된 드리프트 $b^\ell_t(x) = b_t(x) + \sigma_t(x)\ell$을 도입한 수정된 Zvonkin 유형 변환을 적용한다.
• 지역 공역 반경 $\varepsilon/2$에서 균일 타원성과 리프시츠 연속성을 만족하는 새로운 분산 계수 $\sigma'$를 정의하기 위해 잘라내기와 확장 기법을 사용한다.
• 드리프트의 호일더 반노름을 제어하기 위해 베소프 공간 추정을 활용하며, $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$에 대해 $\|b\|_{B^\beta_{p,\infty}} \leq C\|b\|_{C^\beta}$임을 보인다.
• 소규모 및 대규모 점프를 분리하기 위해 레비-이토 분해를 적용하며, 소규모 점프 성분은 보정된 포아송 랜덤 측도 $\tilde{N}$를 통해 집중적으로 다룬다.
• 마르코프 성질과 강한 마르코프 성질을 활용하여 각 구간 $[\tau_n, \tau_{n+1})$에서 피카르 반복을 통한 경로 기반 구축을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트가 지수 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$을 가진 호일더 연속성만을 만족할 경우, 초임계 $\alpha$-스테이블 유사 레비 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해 강한 잘 정의된 문제를 성립시킬 수 있는가?
• RQ2 확산 성분이 없는(즉, 순수 점프 레비 노이즈) 경우, 경로 유일성을 보장할 수 있는 정도로 노이즈에 의한 정규화 효과가 충분한가?
• RQ3 비가우시안, 초임계 영역에서 비라운드 드리프트를 가진 경우 Zvonkin 변환 기법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 레비 측도와 계수에 어떤 조건이 필요하여, 드리프트의 리프시츠 연속성 부재 조건 하에서도 강한 해의 존재성과 유일성을 보장할 수 있는가?
• RQ5 드리프트가 국소 호일더 연속성만을 만족할 경우, 계수의 국소 공역 크기에 따라 강한 잘 정의된 문제가 유지되는가?

주요 결과

• 균일 타원성과 $\sigma_t(x)$의 리프시츠 연속성, $b_t(x)$의 호일더 연속성(지수 $\beta \in (1 - \alpha/2, 1)$) 조건 하에서, 모든 초기 조건 $x \in \mathbb{R}^d$에 대해 SDE는 유일한 강한 해를 갖는다.
• 논문 [12]의 경우 $\sigma_t(x) = \mathbb{I}_{d \times d}$일 때 열린 문제를 해결하며, 드리프트가 리프시츠가 아니어도 강한 잘 정의된 문제의 성립을 확인한다.
• 해는 정지시간 $\tau_n$의 수열을 통해 구성되며, 각 구간 $[\tau_n, \tau_{n+1})$에서 국소 해법 가능성과 경로 유일성을 보장한다.
• 드리프트가 베소프 공간 $B^\beta_{p,\infty}$에 속하며, 그 노름이 호일더 반노름에 의해 제어됨을 보여, PDE 기반 정규화 기법을 적용할 수 있다.
• 구축 과정은 $X_t$가 ${\mathscr{F}}_t$-측정 가능하고 오른쪽 연속임을 보장하며, $\tau_{n+1}$가 정지시간임을 확인함으로써 해의 적응성(adaptedness)을 입증한다.
• 국소 호일더 연속성 계수를 가질 경우, 폭발 시간 $\zeta$까지 해가 존재하며 $\lim_{t \uparrow \zeta} X_t = \infty$임을 보여, 국소 조건 하에서의 전역 존재성으로 결과를 확장한다.