[논문 리뷰] Well-Posedness of the 3D Stochastic Primitive Equations with Transport Noise

Zdzisław Brzeźniak, Jakub Slavík|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중성이고 기울기에 의존하는 백색 잡음에 의해 구동되는 3차원 스토크래틱 프리미티브 방정식의 전역 적으로 잘 정의된 해를 확립한다. 바로타ropic 및 바로클리닉 모드로의 분해와 반복적인 정지 시간 근거의 증명을 통해, 잡음의 성장 조건이 약간의 조건을 만족할 경우 유일한 최대 강해의 존재를 증명하며, 이는 이전 결과를 물리적으로 관련된 기울기에 의존하는 스토크래틱 포싱을 포함하도록 확장한다.

ABSTRACT

We show that that the stochastic 3D primitive equations with either the physical boundary conditions or Neumann boundary conditions on the top and bottom and Dirichlet boundary condition on the sides driven by multiplicative gradient-dependent white noise have unique maximal strong solutions both in stochastic and PDE sense under certain assumptions on the growth of the noise. For the latter boundary conditions global existence is established using an argument based on decomposition of vertical velocity to barotropic and baroclinic modes and an iterated stopping time argument. An explicit example of non-trivial infinite dimensional noise depending on the vertical average of the horizontal gradient of horizontal velocity is presented.

연구 동기 및 목표

• 다중성이고 기울기에 의존하는 잡음 하에서 3차원 스토크래틱 프리미티브 방정식의 전역 적으로 잘 정의된 해를 확립하는 것.
• 기존의 강해에 대한 결과를 확장하여 속도의 공간 기울기에 의존하는 잡음 항을 포함하는 것.
• 상단과 하단에서 물리적 조건과 노이먼 조건을 동시에 처리하고, 측면에서는 디리클레 조건을 적용하는 것.
• 스토크래틱 및 PDE의 두 관점에서 최대 강해에 대한 엄밀한 존재성과 유일성 결과를 제공하는 것.
• 수평 속도의 수평 기울기의 수직 평균에 의존하는 무한차원 잡음의 명시적 예를 제시하는 것.

제안 방법

• 속도 기울기에 의존하고 온도를 포함하는 다중성 잡음을 가진 3차원 스토크래틱 프리미티브 방정식을 수립한다.
• 수직 속도를 바로타ropic 및 바로클리닉 모드로 분해하여 역학을 분리하고 정(regularity)을 제어한다.
• 제어된 잡음 성장 조건 하에서 국소 해를 전역 해로 확장하기 위해 반복적인 정지 시간 근거를 적용한다.
• 에너지 추정에서 비선형 및 스토크래틱 항을 제어하기 위해 $L^6$ 및 $H^1$ 사전 추정을 사용한다.
• 이토의 보조정리와 버크홀더-데이비스-건디 부등식을 적용하여 힐버트-슈미트 노름에서 스토크래틱 적분의 수렴을 다룬다.
• 적절한 함수 공간에서 잡음 계수의 리프시츠 연속성을 이용하여 경로별 유일성과 안정성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잡음이 속도장의 기울기에 의존할 경우, 3차원 스토크래틱 프리미티브 방정식에 대해 전역 강해를 확보할 수 있는가?
• RQ2 복잡한 경계 조건 하에서, 특히 기울기에 의존하는 다중성 잡음을 포함하는 운반 잡음은 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 바로타ropic 및 바로클리닉 모드로의 분해가 정규성 제어와 국소 해의 전역 확장을 위해 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 잡음 계수에 대한 어떤 성장 조건 하에서 전역 적으로 잘 정의된 해가 여전히 보장되는가?
• RQ5 이 틀 안에서 물리적으로 관련된 무한차원 잡음의 명시적 예를 구성하고 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 잡음 계수에 대한 약한 성장 조건 하에서 기울기에 의존하는 잡음을 포함한 3차원 스토크래틱 프리미티브 방정식에 대해 유일한 최대 강해의 존재를 확립한다.
• 상단과 하단에서 노이먼 조건, 측면에서 디리클레 조건을 적용한 상황에서 반복적인 정지 시간 근거를 통해 전역 존재성을 증명한다.
• 방정정의 이방향적 구조를 관리하기 위해 수직 속도를 바로타ropic 및 바로클리닉 성분으로 분해하는 것이 이 방법의 핵심이다.
• 수평 속도의 수평 기울기의 수직 평균에 의존하는 비자명한 무한차원 잡음의 명시적 예를 구성한다.
• 이전의 리프시츠 조건 (1.9)에서 제외되었던 공간 기울기에 의존하는 잡음 항을 허용함으로써 이전의 작업을 확장한다.
• 분석 결과, 기울기에 대한 잡음의 성장은 전역 적으로 잘 정의된 해를 확보하기 위해 충분히 작아야 하며, 관련 상수에 대한 정밀한 통제가 가능하다는 것이 확인된다.