[논문 리뷰] Well-quasi-ordering, tree-width and subquadratic properties of graphs

Aistis Atminas, Vadim Lozin외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 13.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유도 부분그래프 관계에 의해 잘순서지배되는 유전적 그래프 계열이 서브제곱(즉, n에 대해 제곱보다 느리게 증가하는 간선 수)일 경우에만 유계 트리너프를 가진다. 이 결과는 잘순서지배성과 유계 클리크너프를 연결하는 추측의 강화된 버전을 확인하며, 서브제곱 계열에 대해 잘순서지배성이 다항시간 내에 결정 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

A hereditary graph property (or a class of graphs) $X$ is subquadratic if there is a subquadratic function $f(n)=o(n^2)$ bounding the number of edges in all $n$-vertex graphs in $X$. In this paper, we prove that a hereditary class which is well-quasi-ordered by the induced subgraph relation is of bounded tree-width if and only if it is subquadratic. This verifies (and even strengthens) for subquadratic properties a recent conjecture by Thomass\'e et al. stating that every hereditary class which is well-quasi-ordered by the induced subgraph relation is of bounded clique-width. As a byproduct, we also show that deciding well-quasi-orderability for subquadratic classes is an easy task.

연구 동기 및 목표

• 유전적 그래프 계열에서 잘순서지배성, 유계 트리너프, 서브제곱 간선 성장 간의 구조적 관계를 조사한다.
• Thomassé 등이 제기한 잘순서지배성과 유계 클리크너프를 연결하는 추측의 강화된 버전을 검증한다.
• 서브제곱 그래프 계열에 대해 잘순서지배성이 효율적으로 결정 가능한지 확인한다.
• 서브제곱 간선 한계가 잘순서지배되는 유전적 그래프 계열을 특성화하는 데서 어떤 구조적 제약을 부과하는지 명확히 한다.

제안 방법

• 저자는 간선 밀도가 서브제곱인 경우에 초점을 맞춰, 유도 부분그래프 관계 하에서 유전적 그래프 계열을 분석한다.
• 특히 트리너프와 잘순서지배성(WQO)의 성질을 활용한 구조적 그래프 이론 기법을 사용한다.
• 서브제곱 계열이 큰 완전그래프를 배제한다는 사실을 이용해 트리너프를 유계로 제한한다.
• 서브제곱 계열에서 잘순서지배성과 유계 트리너프 사이의 논리적 동치성을 확립한다.
• 잘순서지배성의 결정 가능성을, 이미 다항시간 내에 결정 가능한 유계 트리너프 테스트로의 환원을 통해 보여준다.
• 유도 부분그래프 순서에서의 임의의 무한한 반사계열은 서브제곱 간선 한계를 위반하므로, 이 사실에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서브제곱 유전적 그래프 계열에서 유도 부분그래프에 의한 잘순서지배성이 유계 트리너프를 암시하는가?
• RQ2 잘순서지배성과 유계 클리크너프를 연결하는 추측을 트리너프를 통한 특성화로 강화할 수 있는가?
• RQ3 서브제곱 그래프 계열에 대해 잘순서지배성이 다항시간 내에 결정 가능한가?
• RQ4 서브제곱 간선 한계는 잘순서지배되는 유전적 그래프 계열에 어떤 구조적 제약을 가하는가?

주요 결과

• 유도 부분그래프 관계에 의해 잘순서지배되는 유전적 그래프 계열이 서브제곱이면, 그 계열은 유계 트리너프를 가진다.
• 이 결과는 Thomassé 등이 제기한 추측의 강화된 버전을 확인하며, 서브제곱 계열에서 유계 트리너프가 잘순서지배성과 동치임을 보여준다.
• 서브제곱 유전적 그래프 계열이 잘순서지배되는 것은 유계 트리너프를 가질 때에만 가능하다.
• 잘순서지배성은 서브제곱 계열에 대해 다항시간 내에 결정 가능하며, 이는 유계 트리너프 테스트로 환원되기 때문이다.
• 증명은 유도 부분그래프 순서에서의 임의의 무한한 반사계열은 초제곱 간선 성장을 가진 부분수열을 포함해야 하며, 이는 서브제곱 가정에 모순됨을 보여준다.
• 결과적으로, 유계 트리너프가 아닌 서브제곱 계열은 잘순서지배가 불가능하다.