[논문 리뷰] Weyl function of a Hermitian operator and its connection with characteristic function

Vladimir Derkach, M. M. Malamud|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 31.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 5인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 추상 경계 삼중체와 둘째 그린의 정리에 기반하여 에르미트 연산자의 특성 연산자 함수에 대한 새로운 접근을 제안하며, 웨일 함수와 특성 함수 사이의 직접적인 연결을 수립한다. 주요 기여는 웨일 함수가 크레인과 랭거의 의미에서 $Q$-함수임을 증명하고, 거의 해법 가능한 확장의 스펙트럼 성질을 유일하게 결정함을 보이며, 미분 연산자와 특성 경계를 가진 도메인에서의 라플라스 연산자에 대해 명시적인 공식을 유도한다는 것이다.

ABSTRACT

Let $A$ be a densely defined symmetric operator with equal deficiency indices in a Hilbert space. We introduce the notion of a Weyl function $M(z)$ of $A$ corresponding to an ordinary boundary triplet of the operator $A^*$ and then investigate its basic properties. In particular, a connection with Krein-Langer Q-functions and Krein's type formula for resolvents is discovered. Using this new connection, we show that the resolvent comparability of two proper extensions is equivalent to that of the corresponding boundary operators. Moreover, we show that the number of negative eigenvalues of a self-adjoint extension $A_B=A_B^*$ of a non-negative operator $A$ equals the number of negative eigenvalues of $B-M(0-)$, where $B$ is the boundary operator of $A_B$ and $M(0-)$ is the left limit of the Weyl function at zero. Also, we introduce the class of almost solvable extensions of $A$. A characteristic function (in the sense of A. V. Shtraus) of an almost solvable extension is expressed by means of the Weyl function and the corresponding boundary operator. Analytic properties of characteristic functions are completely characterized. The main results are applied to ordinary differential operators, Sturm-Liouville operators with unbounded operator potentials, Shrödinger operators and Laplacians on domains with a non-smooth boundary. These results were substantially elaborated and published later in the following papers: 1. V.A. Derkach and M.M. Malamud, Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps, J. Funct. Anal. 95 (1991), 1-95. 2. --- Characteristic functions of almost solvable extensions of a Hermitian operators, Ukr. Mat. Zh. 44 (1992), 435-459. 3. --- The extension theory of Hermitian operators and the moment problem, J. Math. Sci. 73 (1995), 141-242.

연구 동기 및 목표

• 대칭 연산자의 특성 연산자 함수에 대해 추상 경계 삼중체를 사용한 보다 자연스럽고 일반적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 웨일 함수가 $Q$-함수로서의 역할과 거의 해법 가능한 확장의 스펙트럼 결정 기능을 명확히 하기 위해.
• 다양한 미분 연산자에 걸쳐 웨일 함수와 특성 함수 사이의 통합된 연결을 수립하기 위해.
• 입자 경계나 특성 포텐셜을 가진 도메인과 같은 특성 영역에서 웨일 함수와 특성 함수의 명시적 표현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 대칭 연산자 $A^*$의 초우성에 대해 추상 그린 항등식과 전사성을 만족하는 경계 삼중체 $\{\mathcal{H}, \Gamma_0, \Gamma_1\}$의 개념을 도입한다.
• 모든 $f_z \in \mathfrak{N}_z$에 대해 $M(z)\Gamma_0 f_z = \Gamma_1 f_z$를 통해 웨일 함수 $M(z)$를 정의하며, 이 함수가 해석적임을 보이고 $R_\mathcal{H}$ 클래스에 속함을 보인다.
• 웨일 함수 $M(z)$가 크레인과 랭거의 의미에서 $Q$-함수임을 증명하고, $A$가 단순할 경우 쌍 $\{A, A_0\}$이 유니터리 동치를 제외하고 유일하게 결정됨을 보인다.
• 추상 둘째 그린의 정리를 사용하여 웨일 함수를 정의하고, 그 해석성과 허수부의 양성 등의 성질을 유도한다.
• 유계 또는 비유계 계수를 가진 미분 연산자와 경계가 조각별로 스무스하거나 특성 있는 도메인에서의 슈뢰딩거 및 라플라스 연산자에 이 프레임워크를 적용한다.
• 특히, 예를 들어 모서리가 있는 도메인에서의 라플라스 연산자에 대해 웨일 함수와 특성 함수의 명시적 표현을 유도한다. 예를 들어 $M(z) = C_\beta z^\beta$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 삼중체와 추상 둘째 그린의 정리를 사용하여 특성 연산자 함수를 어떻게 재정의할 수 있으며, 이는 더 자연스럽고 일반적인 프레임워크를 제공하는가?
• RQ2 거의 해법 가능한 확장의 웨일 함수 $M(z)$와 특성 함수 $\Theta(z)$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 웨일 함수 $M(z)$가 스틸리츠 클래스에 속하는 조건은 무엇이며, 이는 부정적 스펙트럼의 유한성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 특성 계수나 특성 기하학적 구조(예: 모서리 또는 쿠스)를 가진 도메인에서 웨일 함수를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 특히 프리드리히스 확장과 크레인 확장의 관점에서, 웨일 함수를 통한 자기수반 확장의 스펙트럼 특성화는 어떻게 이루어지는가?

주요 결과

• 웨일 함수 $M(z)$는 크레인과 랭거의 의미에서 $Q$-함수이며, $R_\mathcal{H}$ 클래스에 속하며, $A$가 단순할 경우 쌍 $\{A, A_0\}$을 유니터리 동치를 제외하고 유일하게 결정한다.
• 모서리 도메인에서 각도 $\pi/\beta$를 가진 라플라스 연산자에 대해 웨일 함수는 명시적으로 $M(z) = C_\beta z^\beta$로 주어지며, 여기서 $C_\beta = \exp(-i\beta\pi)4^{-\beta}\Gamma(1-\beta)/\Gamma(1+\beta)$이다.
• 경계 조건이 $\ker(\Gamma_1 - C_\beta h \Gamma_0)$인 확장 $L_h$의 특성 함수는 $\Theta(z) = \frac{z^\beta + h}{z^\beta + \bar{h}}$로 주어지며, 이는 스펙트럼 매개변수와 경계 조건을 연결한다.
• 프리드리히스 확장은 $\ker\Gamma_0$에 대응하고, 크레인 확장은 $\ker\Gamma_1$에 대응하며, $M(0) = 0$ 조건이 후자의 정의가 잘 되어 있음을 보장한다.
• 비음수 연산자에 대해 $M(z)$가 스틸리츠 클래스 $(S)$에 속하는 조건을 설정하여, 양성과 단조성의 성질이 스펙트럼 성질과 어떻게 연결되는지를 밝혔다.
• 반선형 위상에서 차수 $2n$의 최소 미분 연산자에 대해 웨일 함수 $M(z)$는 어떤 자기수반 확장의 특성 행렬과 일치하며, 고전 결과를 일반화한다.