[논문 리뷰] Weyl's law on $RCD^*(K,N)$ metric measure spaces

Hui-Chun Zhang, Xi-Ping Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 47인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $RCD^*(K,N)$ 미터 측도 공간에서 딜리클레 고유값에 대한 웨일의 법칙을 수립하며, 유계 도메인의 $N$-차원 하우스도르프 측도에 따라 고유값의 점점 커지는 분포가 스케일링됨을 증명한다. 이 결과는 합성 리치 곡률 하한 조건 하에 비가속적, 특이적인 공간으로 고전적 스펙트럼 점점 커지는 성질을 확장하며, 지표 측도 공간의 수렴 기법을 사용하여 열핵과 스펙트럼 수세기 함수의 수렴을 분석한다.

ABSTRACT

In this paper, we will prove the Weyl's law for the asymptotic formula of Dirichlet eigenvalues on metric measure spaces with generalized Ricci curvature bounded from below.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 리만 다양체에서 성립하는 웨일의 법칙을 비가속적 미터 측도 공간으로 확장하여, 합성 하한 리치 곡률 조건이 있는 공간에 적용하는 것.
• 기준 측도와 $N$-차원 하우스도르프 측도가 상호 절대 연속일 조건 하에서 $RCD^*(K,N)$ 공간에서 딜리클레 고유값의 점점 커지는 분포를 확립하는 것.
• 스펙트럼 수세기 함수 $N_{ m ext{\Omega}}(\lambda)$ 가 도메인의 $N$-차원 하우스도르프 측도를 포함하는 고전적 웨일 점점 커지는 공식을 만족함을 증명하는 것.
• 이전의 가중 리만 다량체와 알렉산드로프 공간에 대한 결과를 $RCD^*(K,N)$ 공간의 전체 클래스로 일반화하는 것.

제안 방법

• 합성 하한 리치 곡률 조건으로서 $RCD^*(K,N)$ 조건을 사용하여 잘 정의된 소볼레프 공간과 딜리클레 형식을 보장한다.
• 지표 측도 거리 하우스도르프(pmGH) 수렴을 사용하여 $RCD^*(K,N)$ 공간의 수열과 그 스펙트럼 성질을 분석한다.
• 균일한 추정과 측도의 약한 수렴을 이용하여 pmGH 수렴하는 공간에서 국소 딜리클레 열핵의 수렴을 확립한다.
• pmGH 수렴에 적응된 파투의 보조정리와 제한 수렴 정리(열린 수렴)를 사용하여 함수와 그 적분의 $L^1$-노름에서의 극한을 취하는 데 사용한다.
• 스펙트럼 컴actness, 고유값의 교차성과 열트레이스 적분의 수렴을 조합하여 웨일 점점 커지는 공식을 유도한다.
• 전체 측도가 유한할 경우 $RCD^*(K,N)$과 $RCD(K,N)$가 동치임을 이용하여 알려진 스펙트럼 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합성 하한 리치 곡률 조건이 있는 비가속적 미터 측도 공간에서 딜리클레 고유값에 대한 웨일의 법칙이 성립하는가?
• RQ2 측도와 $N$-차원 하우스도르프 측도가 상호 절대 연속일 경우 $RCD^*(K,N)$ 공간에서 고전적 웨일 점점 커지는 공식을 회복할 수 있는가?
• RQ3 $RCD^*(K,N)$ 공간에서 유계 도메인의 라플라스 연산자의 고유값은 고유값이 무한대에 접근함에 따라 점점 어떻게 행동하는가?
• RQ4 웨일 점점 커지는 공식은 기준 측도 $\mu$에 독립적이며 도메인의 $N$-차원 하우스도르프 측도에만 의존하는가?
• RQ5 $RCD^*(K,N)$ 공간에서의 스펙트럼 수세기 함수는 고전적 웨일 공식을 통해 도메인의 부피와 점점 커지는 관계를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 웨일 점점 커지는 공식은 $RCD^*(K,N)$ 공간에서 성립한다: $\lim_{\lambda\to\infty}\frac{N_{\Omega}(\lambda)}{\lambda^{N/2}} = \frac{\omega_N \cdot \mathscr{H}^N(\Omega)}{(2\pi)^N}$, 여기서 $N_{\Omega}(\lambda)$ 는 $\lambda$ 이하의 딜리클레 고유값의 수를 세는 함수이다.
• 점점 커지는 공식은 기준 측도 $\mu$에 독립적이며, $\mu \ll \mathscr{H}^N \ll \mu$ 조건 하에서 오직 $N$-차원 하우스도르프 측도 $\mathscr{H}^N(\Omega)$ 에만 의존한다.
• 결과는 부드러운 리만 다량체에서의 고전적 웨일의 법칙을 곡률이 아래로 유계인 $n$-차원 알렉산드로프 공간과 같은 특이 공간으로 일반화한다.
• 리치 곡률이 아래로 유계인 리만 다량체의 비-collapse Gromov-Hausdorff 극한에 대해, 극한 공간에서도 웨일 법칙이 성립한다.
• 증명은 pmGH 수렴 하에서 열핵과 스펙트럼 수세기 함수의 수렴에 기반하며, 주요 도구로는 pmGH 수렴에 적응된 파투의 보조정리와 제한 수렴 정리이다.
• 점점 커지는 공식에서 차원 $N$은 반드시 정수여야 하며, 도메인의 지름이 전체 공간의 지름을 초과하는 어떤 $s>1$ 으로 나눈 값보다 엄밀히 작을 조건 하에서 결과가 성립한다.