[논문 리뷰] What can quantum optics say about complexity theory

Saleh Rahimi-Keshari, Austin P. Lund외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 16.

Quantum Information and Cryptography인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 입력을 가진 선형광학 네트워크에서 출력 광자 수세기 분포를 샘플링하는 데 필요한 복잡도를 조사하며, 열 상태는 양의 정부호 행렬의 행렬식에 비례하는 출력 확률을 유도하며, 이는 다항계층의 세 번째 수준 내에서 고전적으로 시뮬레이션 가능하다는 것을 보이고, 압축된 진공 상태는 적어도 한 가지 구성에서 #P-어려움을 겪는 근사 문제로 이어진다. 이는 가우시안 상태를 사용한 보존 샘플링에서 양자 우월성의 경계를 드러낸다.

ABSTRACT

Considering the problem of sampling from the output photon-counting probability distribution of a linear-optical network for input Gaussian states, we obtain new results that are of interest from both quantum theory and the complexity theory point of view. We derive a general formula for calculating the output probabilities. By considering input thermal states, we show that the output probabilities are proportional to permanents of positive definite Hermitian matrices. It is believed that approximating permanents of complex matrices in general is a #P-hard problem. However, we show that these permanents can be approximated with an algorithm within the third level of the polynomial hierarchy, as there exists an efficient classical algorithm for sampling from the output probability distribution. On the other hand, considering input squeezed-vacuum states, we show the output probabilities are proportional to a quantity which is, for at least a specific configuration, #P-hard to approximate.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 입력 상태를 가진 선형광학 네트워크에서 출력 광자 분포를 샘플링하는 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 이러한 시스템의 출력 확률이 효율적으로 고전적으로 시뮬레이션 가능한지 여부를 판단하는 것.
• 다른 가우시안 상태—열 상태와 압축된 진공 상태—가 샘플링 문제의 어려움을 결정하는 데 미치는 역할을 명확히 하는 것.
• 양자 광학 형식과 복잡도론적 개념, 특히 행렬식과 #P-완전성 간의 연결을 맺는 것.

제안 방법

• 가우시안 입력을 가진 선형광학 네트워크에서 출력 광자 수세기 확률을 계산하는 일반 공식 유도.
• 입력 상태가 열 상태일 경우의 출력 확률 분석을 통해 양의 정부호 에르미트 행렬의 행렬식에 비례함을 보여주는 것.
• 열 상태의 경우, 출력 분포를 샘플링하기 위한 효율적인 고전 알고리즘이 존재함을 보이며, 이는 다항계층의 세 번째 수준에 속함을 의미함.
• 압축된 진공 입력에 대한 출력 확률 조사에서, 적어도 한 구성에 대해 #P-어려운 양과의 연결을 밝혀내는 것.
• 위그너 함수와 가우시안 상태의 진화를 포함한 양자 광학 형식을 사용하여 확률 표현식을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우시안 입력을 가진 선형광학 네트워크의 출력 확률 분포를 고전적으로 효율적으로 샘플링할 수 있는가?
• RQ2 열 상태 입력의 출력 확률이 양의 정부호 행렬의 행렬식과 관련이 있는가? 만약 그렇다면, 이는 고전적으로 다룰 수 있는가?
• RQ3 이러한 네트워크에서 압축된 진공 상태를 사용할 경우 #P-어려운 샘플링 문제가 발생하는가?
• RQ4 특정 구성의 압축된 진공 입력에 대한 출력 확률을 근사하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 열 상태와 압축된 진공 상태의 결과를 복잡도론적 난이도 측면에서 비교하면 어떻게 되는가?

주요 결과

• 입력으로 열 상태를 사용할 경우, 출력 확률은 양의 정부호 에르미트 행렬의 행렬식에 비례하며, 이는 고전적 알고리즘을 통해 효율적으로 근사 가능하다.
• 열 상태 샘플링의 고전적 시뮬레이션 능력은 문제를 다항계층의 세 번째 수준에 둔다.
• 입력으로 압축된 진공 상태를 사용할 경우, 출력 확률은 적어도 한 가지 특정 구성에 대해 #P-어려운 양에 비례한다.
• 이 논문은 선형광학 네트워크에서 고전과 양자 간의 복잡도 경계를 설정한다: 열 상태는 고전적으로 시뮬레이션 가능하며, 압축 상태는 잠재적인 양자 우월성을 보여준다.
• 결과는 가우시안 입력 상태의 선택이 샘플링 문제의 계산 복잡도를 본질적으로 변화시키며, 보존 샘플링에서의 양자 우월성에 대한 함의를 지닌다.