[논문 리뷰] What Dimensions Do the Time and Space Have: Integer or Fractional?

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|2000. 01. 17.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 5인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 물리적 장의 에너지 밀도로부터 유도된 분수차원(FD)을 갖는 시간과 공간을 가진 새로운 이론적 프레임워크를 제안한다. 다중분수집합 위에서의 운동을 묘사하기 위해 일반화된 분수도함수(GFD)를 사용한다. 주요 기여는 모든 물리적 장과 힘을 비정수 차원을 갖는 시간과 공간의 기하학적 결과로 통합적으로 묘사하는 것으로, 정수 극한에서 고전 물리학으로 수렴하며, 발산이 없는 강한장 영역에 대해 새로운 예측을 제시한다.

ABSTRACT

A theory of time and space with fractional dimensions (FD) of time and space ($d_α, α=t,{\bf r})$ defined on multifractal sets is proposed. The FD is determined (using principle of minimum the functionals of FD) by the energy densities of Lagrangians of known physical fields. To describe behaviour of functions defined on multifractal sets the generalizations of the fractional Riemann-Liouville derivatives $D_{t}^{d(t)}$ are introduced with the order of differentiation (depending on time and coordinate) being equal the value of fractional dimension. For $d_{t}=const$ the generalized fractional derivatives (GFD) reduce to ordinary Riemann-Liouville integral functionals, and when $d_{t}$ is close to integer, GFD can be represented by means of derivatives of integer order. For time and space with fractional dimensions a method to investigate the generalized equations of theoretical physics by means of GFD is proposed. The Euler equations defined on multifractal sets of time and space are obtained using the principle of the minimum of FD functionals. As an example, a generalized Newton equation is considered and it is shown that this equation coincide with the equation of classical limit of general theory of relativity for $d_{t} o 1$. Several remarks concerning existence of repulsive gravitation are discussed. The possibility of geometrization all the known physical fields and forces in the frames of the fractal theory of time and space is demonstrated.

연구 동기 및 목표

• 모든 물리적 장과 힘이 시간과 공간의 분수기하학에서 유래하는 통합 이론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 분수차원을 기본 물리적 특성으로 도입함으로써 공간, 시간, 그들의 차원의 본질에 관한 근본적 질문을 해결하는 것.
• 시간과 공간에 따라 변화하는 다중분수집합 위에서의 운동을 묘사하는 데 사용할 수 있는 수학적 형식화—일반화된 분수도함수(GFD)—를 제공하는 것.
• 분수차원이 정수로 수렴할 때 고전적 및 상대론적 방정식이 극한 경우로 나타나는 것을 보여주는 것.
• 비정수 차원이 강한장 영역에서 중력, 보존 법칙, 물리이론의 구조에 미치는 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 이 이론은 시간과 공간을 다중분수집합 위에 존재하는 물질장으로 정의하며, 각각 국소적으로 변화하는 분수차원 $d_t({\bf r},t)$와 $d_{\bf r}({\bf r},t)$를 에너지 밀도의 기능을 최소화함으로써 유도한다.
• 일반화된 분수도함수(GFD)는 차수 $d(t)$ 또는 $d({\bf r})$를 갖는다. $d_t = \text{const}$일 때는 표준 리만-리오빌 도함수로 감소하고, $d_t \to 1$일 때는 정수차수 도함수로 감소한다.
• 다중분수집합 위에서 분수차원 기능의 최소화 원리를 적용하여 오일러-라그랑즈 방정식을 유도하며, 이를 통해 일반화된 운동 방정식을 도출한다.
• 시간과 공간의 부분집합 $S_t$와 $S_r$ 위에 정의된 함수에 적용되며, 발산을 다루기 위해 $1/t = P(1/t) \pm \pi i\delta(t)$를 통해 특이 적분을 정규화한다.
• 이 형식화는 물리적 장의 기원을 시공간의 분수기하학적 구조의 결과로 간주함으로써 모든 알려진 물리적 장을 기하학적으로 통합할 수 있도록 한다.
• 이론은 일반화된 뉴턴 방정식을 통해 검증되며, 이는 $d_t \to 1$일 때 일반 상대성 이론의 고전적 극한으로 수렴한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간과 공간의 차원이 분수차원일 수 있으며, 만약 그렇다면 에너지 밀도와 같은 물리 원리로부터 어떻게 도출될 수 있는가?
• RQ2 뉴턴 및 상대론적 방정식과 같은 표준 이론물리학 방정식이 가변 분수차원을 갖는 이론의 극한 경우로 어떻게 유도될 수 있는가?
• RQ3 차수 $d(t)$ 또는 $d({\bf r})$가 시간과 공간 좌표에 따라 변화할 경우 일반화된 분수도함수(GFD)의 수학적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 제안된 모델은 비정수 차원을 갖는 시간과 공간의 기하학으로부터 모든 알려진 물리적 장과 힘이 어떻게 유도되는가?
• RQ5 이 이론은 개방적이고 다중분수집합인 시공간에서 반발하는 중력과 보존 법칙 존재에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 다중분수 구조에서 도출된 일반화된 뉴턴 방정식은 시간 차원이 1으로 수렴할 때 일반 상대성 이론의 고전적 극한과 일치한다. 즉, $d_t \to 1$이다.
• 지구 표면에서 시간의 분수차원 보정은 약 $d_t - 1 \sim 10^{-12}$로 추정되며, 이는 약한장 영역에서 표준 물리학의 사용을 정당화한다.
• 모든 알려진 물리적 장과 힘은 시공간의 분수기하학적 구조의 결과로 기하학적으로 통합되며, 분수차원이 장 생성의 원천으로 작용한다.
• 이 이론은 강한장 영역에서 발산이 없음을 예측하며, 기존 양자장론에서 부재한 자연스러운 정규화 메커니즘이 있음을 시사한다.
• 이 모델은 공간 차원의 분수성에 의해 유일하게 기인하는 새로운 종류의 '시간적' 장을 도입하며, 이는 표준 물리장의 방정식과 유사한 형태를 갖는다.
• 이 프레임워크는 분수보정을 무시할 경우 특수상대성 이론으로 수렴하는 '거의 관성 기준계'의 존재를 허용한다.