[논문 리뷰] What does Birkhoff's theorem really tell us?

Kristin Schleich, Donald Witt|ArXiv.org|2009. 10. 27.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Birkhoff의 정리가 일반 상대성 이론에서 국소적 유일성 결과이지 전역적 유일성 결과가 아니라는 점을 밝혀내기 위해, ℝ×S²가 아닌 위상 구조를 가진 캐우시 표면 위에 구면 대칭 초기 자료 집합을 구성한다. 이러한 자료는 국소적으로는 슈바르츠실트 또는 슈바르츠실트-데 시터이지만 전역적으로는 정적 영역, 점점 평탄해지는 성질, 또는 데 시터 유사 행동을 갖지 않는 시공간으로 진화한다. 이는 정리의 국소적 성격을 입증하고, 초기 자료로부터 시공간 기하학을 식별하는 데의 유용성을 보여준다.

ABSTRACT

Birkhoff's theorem is a classic result that characterizes locally spherically symmetric solutions of the Einstein equations. In this paper, we illustrate the consequences of its local nature for the cases of vacuum and positive cosmological constant. We construct several examples of initial data for spherically symmetric spacetimes on Cauchy surfaces of different topology than that of the maximal analytic extension of Schwarzschild and Schwarzschild-de Sitter spacetimes. The spacetimes formed from the evolution of these initial data sets also have very different physical properties; in particular they need not contain a static region or be asymptotically flat or asymptotically de Sitter. We also present locally spherically symmetric initial data sets for de Sitter spacetimes that are not covered by the maximal analytic extension of de Sitter spacetime itself. Finally we illustrate the utility of Birkhoff's theorem in identifying the spacetimes associated with two spherically symmetric initial data sets; one proven to exist but not explicitly exhibited and one which has negative ADM mass.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 Birkhoff의 정리가 전역적 유일성 결과가 아니라 국소적 유일성 결과임을 명확히 하기.
• ℝ×S²가 아닌 위상을 가진 캐우시 표면 위에 Birkhoff의 정리 조건을 만족하는 초기 자료 집합을 구성하기.
• 그러한 자료에서 유도된 시공간이 정적 영역, 점점 평탄해지는 성질, 또는 데 시터 유사 행동을 갖지 않을 수 있음을 보여주기.
• Birkhoff의 정리가 추상적 또는 명시적으로 구성된 초기 자료로부터 시공간 기하학을 식별할 수 있음을 보여주기.
• 슈바르츠실트와 슈바르츠실트-데 시터의 최대 해석 연장 이외의 국소적 구면 대칭 시공간에 대한 이해를 확장하기.

제안 방법

• ℝP³ 및 S¹ ×̃ S²와 같은 비표준 위상을 가진 캐우시 표면 위에 구면 대칭 초기 자료 집합을 구성하기.
• 구면 대칭 초기 자료가 구면 대칭 시공간으로 진화한다는 정리를 활용하여, 초기 자료와 전역적 기하학 간의 연결 고리 설정하기.
• 그룹 이론적 방법을 적용하여 ℝP², ℝP³, S¹ ×̃ S²와 같은 몫다양체의 등급군을 계산하고, 잔류 SO(3) 대칭성 검증하기.
• 양의 우주론적 상수를 포함하여 Birkhoff의 정리를 일반화하여 국소 기하학이 슈바르츠실트-데 시터 또는 Nariai 시공간과 일치함을 보여주기.
• Birkhoff의 정리의 국소적 성격을 활용하여, 시공간이 최대 해석 연장과 전역적으로 등급이 같지 않더라도 초기 자료로부터 전역 시공간 기하학을 식별하기.
• 정규화자와 몫군 구성(정리 2)을 적용하여 S³/ℤ₂ 및 S¹×S²/ℤ₂와 같은 몰입 공간의 등급군 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Birkhoff의 정리의 국소적 성격은 구면 대칭 시공간의 전역 기하학에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 ℝ×S²가 아닌 위상을 가진 캐우시 표면 위의 초기 자료 집합이 여전히 국소적으로 슈바르츠실트 또는 슈바르츠실트-데 시터와 등급이 같은 시공간으로 진화할 수 있는가?
• RQ3 그러한 자료에서 유도된 시공간이 반드시 정적 영역, 점점 평탄해지는 성질, 또는 데 시터 유사 점근적 성질을 가져야 하는가?
• RQ4 Birkhoff의 정리는 시공간이 최대 해석 연장과 전역적으로 등급이 같지 않은 경우에도 초기 자료로부터 전역 기하학을 식별하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 ℝP³ 및 S¹ ×̃ S²와 같은 몰입 다양체의 등급군은 무엇이며, 원래 대칭군과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• ℝP³ 위의 초기 자료는 국소적으로는 슈바르츠실트이지만 정적 영역이 없고 점점 평탄해지지 않는 시공간으로 진화한다.
• S¹ ×̃ S² 위의 초기 자료는 국소적으로는 슈바르츠실트이지만 비트리비어 전역 위상과 점근 영역이 없는 시공간으로 진화한다.
• 양의 우주론적 상수를 가진 초기 자료에서 유도된 시공간은 국소적으로는 슈바르츠실트-데 시터 또는 Nariai 시공간과 등급이 같지만, 전역 기하학은 최대 해석 연장과 다름을 보인다.
• ℝP³−{p}의 등급군은 SO(3)이므로, ℤ₂ 작용에 의해 몫을 취하더라도 연속 대칭성이 유지됨을 보여준다.
• S¹ ×̃ S²의 등급군은 SO(3)을 포함하므로, 비방향성 정합에 의해 잔류 구면 대칭성이 확인된다.
• Birkhoff의 정리는 추상적 초기 자료 집합과 음의 ADM 질량을 가진 구성된 초기 자료 집합 모두로부터 시공간 기하학을 성공적으로 식별한다.