[논문 리뷰] What Does Nature Minimize In Every Incompressible Flow?

Haithem E. Taha, Cody Gonzalez|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 22.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 모든 비압축성 유동에서 자연이 압력 기울기의 노름을 최소화한다는 기본 변분 원리인 최소 기울기 기울기 원리(PMPG)를 제안한다. 가우스의 최소 제약 원리에 뿌리를 두고 있는 PMPG는 유체역학을 최소화 문제로 재구성하여 나비에-스토크스 방정식을 풀지 않고도 고전적 유체역학 문제—특히 매끄러운 실린더에 대한 양력 역설과 같은 오랫동안 미해결이었던 문제—를 해결할 수 있게 하며, 100년 이상의 전통적인 믿음인 쿠타 조건이 점성에 기인한다는 것을 도전한다.

ABSTRACT

In this paper, we discover the fundamental quantity that Nature minimizes in almost all flows encountered in everyday life: river, rain, flow in a pipe, blood flow, airflow over an airplane, etc. We show that the norm of the pressure gradient over the field is minimum at every instant of time! We call it the principle of minimum pressure gradient (PMPG). The principle is deeply rooted in classical mechanics via Gauss' principle of least constraint. Therefore, while we prove mathematically that Navier-Stokes' equation represents the necessary condition for minimization of the pressure gradient, the PMPG stands on its own philosophy independent of Navier-Stokes'. It turns any fluid mechanics problem into a minimization one. We demonstrate this intriguing property by solving three of the classical problems in fluid mechanics using the PMPG without resorting to Navier-Stokes' equation. In fact, the inviscid version of the PMPG allowed solving the long-standing problem of the aerohydrodynamic lift over smooth cylindrical shapes where Euler's equation fails to provide a unique answer. Moreover, the result challenges the accepted wisdom about lift generation on an airfoil, which has prevailed over a century. The PMPG is expected to be transformative for theoretical modeling of fluid mechanics as it encodes a complicated nonlinear partial differential equation into a simple minimization problem. The principle even transcends Navier-Stokes' equations in its applicability to non-Newtonian fluids with arbitrary constitutive relations and fluids subject to arbitrary forcing (e.g. electric or magnetic).

연구 동기 및 목표

• 모든 비압축성 유동에서 자연이 최소화하는 기본 물리량을 규명하여, 유체역학 분야에서 오랫동안 존재해온 격차를 메운다.
• 나비에-스토크스 방정식에 의존하지 않는 변분 원리를 개발하여 유체 운동의 근본적인 물리적 메커니즘을 드러낸다.
• 유체역학에서 오랜 기간 미결정 문제로 남아 있던 고전 문제들—예를 들어, 유효한 해가 유일하게 존재하지 않는 매끄러운 원통형 몸체에서의 양력 생성—를 해결한다.
• 나비에-스토크스 기반 모델의 제약을 넘어선 비뉴턴 유체 및 임의의 외력에 적용 가능한 통합적 프레임워크를 제공한다.
• 유체역학의 새로운 이론적 기초를 제공하여 모델링을 단순화하고 복잡한 PDE를 풀 의존도를 줄이며, 난류 폐쇄 이론 및 존재성 증명에 영향을 줄 수 있다.

제안 방법

• 압축성 유지 조건을 유지하는 압력 기울기를 제약력으로 간주하고, 가우스의 최소 제약 원리로부터 PMPG를 유도한다.
• 유체 영역에서 압력 기울기의 L2-노름 최소화를 핵심 변분 원리로 설정한다.
• 나비에-스토크스 방정식을 사용하지 않고도, 원통체 위의 흐름, 비행체 위의 흐름, 스토크스 흐름의 세 가지 고전적 유체역학 문제에 PMPG를 적용한다.
• 점성 없는 PMPG를 사용하여 쿠타 조건을 최소화의 결과로 도출함으로써, 점성 효과가 아닌 관성력 기반 현상임을 밝힌다.
• PMPG와 나비에-스토크스 방정식 간의 등가성을 필수 조건으로 보여주되, 철학적 독립성을 유지한다.
• 유동장을 운동학적으로 허용 가능한 함수로 매개변수화하여 연속성 조건과 경계 조건을 만족시키고, 압력 기울기 노름을 최소화하여 전체 역학을 축소된 모델에 투영한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 비압축성 유동, 점성 및 난류를 포함하여 자연이 최소화하는 기본 물리량은 무엇인가?
• RQ2 나비에-스토크스 방정식에 의존하지만도 동일한 운동 방정식을 도출할 수 있는 변분 원리는 유도될 수 있는가?
• RQ3 왜 오일러 방정식은 매끄러운 원통형 몸체에서의 양력을 유일하게 결정하지 못하며, 새로운 원리로 이 불확정성은 해결될 수 있는가?
• RQ4 쿠타 조건은 점성 효과의 산물인가, 아니면 PMPG가 시사하는 바에 따르면 점성 없는 운동량 현상인가?
• RQ5 PMPG는 비뉴턴 유체 및 임의의 외력에 대해 핵심 수식을 수정하지 않고도 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• PMPG는 모든 비압축성 유동에서 매순간 압력 기울기의 L2-노름이 최소화됨을 보장하며, 유체역학의 새로운 기본 원리 기반을 제공한다.
• 점성 없는 PMPG는 매끄러운 원통형 형상에서의 양력을 고유하게 결정하여, 오랜 기간 오랜 기간 오일러 방정식이 고유한 해를 도출하지 못했던 100년 이상의 문제를 해결한다.
• 쿠타 조건은 PMPG의 최소화 원리에서 자연스럽게 유도되며, 점성 효과가 아닌 점성 없는 운동량 기반 현상임을 시사한다.
• PMPG는 이상 유체 근사에서 원형 실린더 위의 양력이 0이 되는 고전적 결과를 정확히 재현한다 (D → 1일 때 Γ* → 0).
• 이 원리는 비뉴턴 유체 및 임의의 외력(예: 전자기력) 작용 하에서도 핵심 수식을 수정하지 않고도 일반적으로 적용 가능하다.
• PMPG는 복잡한 PDE를 풀지 않고도 이론적 모델링의 새로운 길을 열며, 나비에-스토크스 존재 문제 및 난류 폐쇄 이론의 해결 가능성을 제시한다. 이를 통해 유체역학을 최적화 문제로 재구성한다.