[논문 리뷰] What is the theory ZFC without power set?

Victoria Gitman, Joel David Hamkins외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 11.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 멱집합 공리 없이 ZFC(=ZFC⁻)가 기본적인 집합론적 결과를 증명하지 못함을 보여주며, 예를 들어 가чёт 가능한 합집합의 가чёт성, ω₁의 정규성, 초구조적 초곱에 대한 Łoś 정리 등 기본 성질을 증명하지 못함을 밝힌다. 주요 기여는 체계적 공리화에서 치환 공리를 수집 공리로 대체함으로써 더 강력하고 더 탄탄한 이론인 ZFC⁻를 얻는 것으로, 이는 이러한 결함들을 보완한다.

ABSTRACT

We show that the theory ZFC-, consisting of the usual axioms of ZFC but with the power set axiom removed-specifically axiomatized by extensionality, foundation, pairing, union, infinity, separation, replacement and the assertion that every set can be well-ordered-is weaker than commonly supposed and is inadequate to establish several basic facts often desired in its context. For example, there are models of ZFC- in which $ω_1$ is singular, in which every set of reals is countable, yet $ω_1$ exists, in which there are sets of reals of every size $\aleph_n$, but none of size $\aleph_ω$, and therefore, in which the collection axiom sceme fails; there are models of ZFC- for which the Los theorem fails, even when the ultrapower is well-founded and the measure exists inside the model; there are models of ZFC- for which the Gaifman theorem fails, in that there is an embedding $j:M o N$ of ZFC- models that is $Σ_1$-elementary and cofinal, but not elementary; there are elementary embeddings $j:M o N$ of ZFC- models whose cofinal restriction $j:M o \bigcup j``M$ is not elementary. Moreover, the collection of formulas that are provably equivalent in ZFC- to a $Σ_1$-formula or a $Π_1$-formula is not closed under bounded quantification. Nevertheless, these deficits of ZFC- are completely repaired by strengthening it to the theory $ZFC^-$, obtained by using collection rather than replacement in the axiomatization above. These results extend prior work of Zarach.

연구 동기 및 목표

• 멱집합 공리와 치환 공리의 부재 속에서 ZFC⁻의 기초적 약점을 조사하는 것, 특히 ZFC⁻가 멱집합과 치환 공리를 갖지 못할 경우의 문제점 분석.
• ZFC⁻가 ω₁의 정규성이나 초곱에 대한 Łoś 정리와 같은 기본 사실을 증명하지 못함을 보여주는 것.
• ZFC⁻가 가чёт 가능한 집합들의 가чёт 가능한 합집합이 가чёт함을 증명하지 못함을 보여주는 것, 즉 ω₁가 존재하더라도 마찬가지로 성립하지 않음.
• ZFC⁻가 각 n < ω에 대해 크기가 ℵn인 실수 집합은 존재하지만 크기가 ℵω인 실수 집합의 존재를 증명하지 못함을 보여주는 것.
• ZFC⁻가 대규모 기수 이론과 초곱 구성 응용에 부적합함을 주장하고, 수집 공리를 포함한 ZFC⁻를 더 바람직한 대안으로 제안하는 것.

제안 방법

• 특히 Lévy 붕괴인 Coll(ℵ₁, <ℵω)를 사용한 포싱 반복을 통해 ZFC⁻의 모델을 구성함으로써, ω₁가 비정규적일 수 있는 모델을 생성하는 것.
• 강한 곱 포싱 개념을 사용하여 ZFC⁻의 모델을 구축함으로써 수집 공리가 실패하는 경우를 만들며, 주어진 집합에서 함수의 상들을 수용할 수 있는 단일 집합이 존재하지 않도록 보장하는 것.
• 내부 초측정을 사용한 초곱 구성 분석을 통해, 초곱이 정상적이지만 초곱 사상이 원소적일 수 없는 경우가 ZFC⁻ 모델에서 발생할 수 있음을 보여주는 것.
• Gaifman 정리를 적용하여 ZFC⁻에서 cofinal Σ₁-elementary 임베딩이 반드시 원소적일 필요가 없음을 보여주며, 이 정리의 실패를 입증하는 것.
• P(ω)가 존재하고 초곱 사상이 정의 가능하지만 Σ₂-elementary가 아닌 내부 모델 W ⊆ V[G]에서 정의 가능한 초곱을 사용하는 것.
• Zarach의 일반적 프레임워크를 활용하여 유한 포싱 개념의 증가적 곱을 통해 ZFC⁻ 모델을 구성하는 방법을 응용하고, Łoś 정리와 수집 공리의 실패를 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZFC⁻는 가чёт 가능한 집합들의 가чёт 가능한 합집합이 가чёт함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 ZFC⁻는 ω₁이 정규적임을 보장하는가, 아니면 ZFC⁻ 모델에서 ω₁가 비정규적일 수 있는가?
• RQ3 ZFC⁻는 각 n < ω에 대해 크기가 ℵn인 실수 집합이 존재하더라도 크기가 ℵω인 실수 집합의 존재를 증명할 수 있는가?
• RQ4 초곱이 정상적이며 측정이 모델 내에 존재하더라도, ZFC⁻ 모델에 대해 Łoś 초곱 정리가 성립하는가?
• RQ5 ZFC⁻ 모델 간에 원소적일 수 없는 cofinal Σ₁-elementary 임베딩이 존재할 수 있는가, 이는 Gaifman 정리의 위반을 의미하는가?

주요 결과

• ω₁가 존재하는 모델에서도 ω₁가 비정규적일 수 있는 ZFC⁻의 모델이 존재함을 보여주며, ZFC⁻가 ω₁의 정규성을 증명하지 못함을 입증한다.
• 모든 실수 집합이 가чёт하지만 ω₁가 존재하는 ZFC⁻의 모델이 존재함을 보여주며, ZFC⁻가 비가чёт한 실수 집합의 존재를 증명하지 못함을 입증한다.
• 각 n < ω에 대해 크기가 ℵn인 실수 집합이 존재하지만 크기가 ℵω인 실수 집합이 존재하지 않는 ZFC⁻의 모델이 존재함을 보여주며, ZFC⁻가 이러한 집합의 존재를 증명하지 못함을 입증한다.
• Łoś 초곱 정리는 ZFC⁻에서 실패한다: M ⊨ ZFC⁻인 모델 M이 존재하며, M-정규 측정 μ가 존재하여 초곱이 정상적이지만 초곱 사상이 원소적이지 않은 경우가 존재한다.
• Gaifman 정리는 ZFC⁻에서 실패한다: ZFC⁻ 모델 간에 원소적이지 않은 cofinal Σ₁-elementary 임베딩 j:M → N 가 존재할 수 있으며, 이는 cofinal 제약 j:M → ⋃j[M] 가 원소적이지 않은 경우에도 성립한다.
• ZFC⁻에서 Σ₁ 또는 Π₁ 공식과 증명적으로 동치인 공식들의 집합은 유계된 기수화에 대해 닫혀 있지 않으며, 이는 이론의 논리적 구조에 근본적인 결함이 있음을 시사한다.