[논문 리뷰] What's hard about Boolean Functional Synthesis

S. Akshay, Supratik Chakraborty외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 16.

Formal Methods in Verification참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부울 기능 합성에 대한 이단계 알고리즘을 제안한다. 첫 번째 단계는 SAT 솔버를 사용해 다항 크기의 스코렘 함수를 효율적으로 생성하며, 이로써 분해형 분해 벤치마크의 97%와 산술 벤치마크의 72%에서 성공을 달성한다. 첫 번째 단계에서 실패할 경우, CEGAR 기반의 두 번째 단계가 정확한 그러나 잠재적으로 지수 크기의 함수를 구성하며, 이론적 보장에 따르면 이러한 난이도는 표준 복잡도 가정 하에 피할 수 없다.

ABSTRACT

Given a relational specification between Boolean inputs and outputs, the goal of Boolean functional synthesis is to synthesize each output as a function of the inputs such that the specification is met. In this paper, we first show that unless some hard conjectures in complexity theory are falsified, Boolean functional synthesis must necessarily generate exponential-sized Skolem functions, thereby requiring exponential time, in the worst-case. Given this inherent hardness, what does one do to solve the problem? We present a two-phase algorithm for Boolean functional synthesis, where the first phase is efficient both in terms of time and sizes of synthesized functions, and solves an overwhelming majority of benchmarks. To explain this surprisingly good performance, we provide a sufficient condition under which the first phase must produce exact correct answers. When this condition fails, the second phase builds upon the result of the first phase, possibly requiring exponential time and generating exponential-sized functions in the worst-case. Detailed experimental evaluation shows our algorithm to perform better than state-of-the-art techniques for a majority of benchmarks.

연구 동기 및 목표

• 표준 복잡도 가정 하에 부울 기능 합성의 본질적 이론적 난이도를 이해하는 것.
• 최악의 경우 비결정적 난이도가 있음에도 불구하고 실제 벤치마크의 대부분을 효율적으로 해결할 수 있는 실용적 알고리즘을 개발하는 것.
• 알고리즘의 첫 번째 단계에서 정확성이 보장되는 구조적 조건을 규명하는 것.
• 다양한 벤치마크 세트에서 최신 기술 도구들과의 성능을 평가하는 것.

제안 방법

• 첫 번째 단계는 다항 시간 내에 NP 오рак루(예: SAT 솔버)를 다항 번수 호출하여 다항 크기의 후보 스코렘 함수를 생성한다.
• 알고리즘은 근사적 모델 카운터를 사용해 첫 번째 단계 출력의 정확성을 검증하며, 이는 반례 비율(잘못된 예측 비율)을 추정한다.
• 입력의 구조가 ROBDD 유사 표현과 관련된 충분한 조건을 만족할 경우 첫 번째 단계는 성공하며, 이는 정확성을 보장한다.
• 첫 번째 단계에서 실패할 경우, 두 번째 단계는 SAT 솔빙과 반례 분석을 반복적으로 활용해 후보 함수를 점진적으로 개선하는 CEGAR 기반 접근법을 사용한다.
• 두 번째 단계는 첫 번째 단계의 후보 함수로부터 정확한 스코렘 함수를 구성하며, 최악의 경우 지수 크기의 출력이 발생할 수 있다.
• 이론적 분석에 따르면, P = NP 또는 다항 시간 계층이 붕괴하거나 비균일한 지수 시간 가정이 실패하지 않는 한, 초과 다항 시간 또는 초과 다항 크기의 스코렘 함수는 피할 수 없다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부울 기능 합성의 난이도가 초과 다항 시간 또는 초과 다항 공간을 요구하는 것으로 증명될 수 있는 복잡도 이론적 가정은 무엇인가?
• RQ2 첫 번째 단계가 효율적이며 실용적 벤치마크의 대부분을 해결할 수 있도록 하는 이단계 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 입력 사양의 어떤 구조적 특성이 첫 번째 단계의 후보 스코렘 함수의 정확성을 보장하는가?
• RQ4 제안된 알고리즘의 성능이 다양한 벤치마크 카테고리에서 최신 기술 도구들과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 근사적 모델 카운팅은 첫 번째 단계에서 후보 스코렘 함수의 품질을 효율적으로 검증하는 데 얼마나 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 단계는 산술 벤치마크 48개 중 35개(72.9%)를 성공적으로 해결했으며, 분해형 분해 벤치마크 68개 중 66개(97.1%)와 모든 5개의 인수 분해 벤치마크를 해결했다.
• 13개의 벤치마크에서 두 번째 단계가 시작되었을 때, 정확도 비율이 0.002 이하였으며, 이는 두 번째 단계 시작 시 높은 품질의 후보 함수가 존재했음을 시사한다.
• 정확도 비율이 낮은 13개의 벤치마크에서 두 번째 단계가 성공적으로 완료되었지만, 정확도 비율이 0.9 초과인 27개의 QBFEval 벤치마크에서는 실패했으며, 이는 지속적인 반례가 존재했음을 의미한다.
• bfss는 Cadet이 해결하지 못한 231개, parSyn이 해결하지 못한 94개, RSynth이 해결하지 못한 231개, AbsSynthe-Skolem이 해결하지 못한 92개의 벤치마크를 해결했다.
• 분해형 분해 및 인수 분해 벤치마크에서 bfss는 시간과 해결된 인스턴스 수 모두에서 Cadet, parSyn, AbsSynthe-Skolem을 능가했다.
• 이론적 결과에 따르면, P = NP 또는 다항 시간 계층이 붕괴하거나 비균일한 지수 시간 가정이 실패하지 않는 한, 부울 기능 합성은 초과 다항 시간 또는 초과 다항 크기의 스코렘 함수를 요구해야 한다.