[논문 리뷰] What scalars should we use ?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|2005. 05. 16.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 34인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 물리학에서 스칼라로 전통적으로 사용되어 온 실수 및 복소수를 비아르키메데스 대수로 대체할 것을 주장한다. 이러한 대수는 유한한 무한과 영인자도 엄밀하게 다룰 수 있다. 복소수를 확장한 교환법칙과 결합법칙을 만족하는 대수, 예를 들어 수열의 몫대수를 구성함으로써 양자장론과 경로적분에서의 무한을 체계적으로 다룰 수 있으며, 이는 재규격화의 필요성을 피하고 이론물리학에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

There are compelling historical and mathematical reasons why we ended up, among others in Physics, with using the scalars given by the real or the complex numbers. Recently, however, infinitely many easy to construct and use other algebras of scalars have quite naturally emerged in a number of branches of Applied Mathematics. These algebras of scalars can deal with the long disturbing difficulties encountered in Physics, related to such phenomena as "infinities in Physics", "re-normalization", the "Feynman path integral", and so on. Specifically, as soon as one is dealing with scalars in algebras which - unlike the reals R and complex numbers C - are no longer Archimedean, one can deal with a large variety of "infinite" quantities and do so within the usual rules and with the usual operations of algebra. Here we present typical constructions of these recently emerged algebras of scalars, most of them non-Archimedean.

연구 동기 및 목표

• 물리학에서 스칼라로 사용될 수 있는 것은 실수 또는 복소수 뿐이라는 오랫동안 의심받지 않은 가정에 도전하기 위해.
• 양자장론에서의 지속적인 수학적 곤경, 예를 들어 무한, 경로적분, 재규격화 문제를 새로운 스칼라 대수를 도입하여 해결하기 위해.
• 영인자를 가진 비아르키메데스 대수는 물리이론에 대해 일관되고 엄밀한 프레임워크를 제공할 수 있음을 보여주기 위해.
• 이러한 새로운 스칼라 대수를 사용하여 힐버트 공간과 경로적분을 재정의하는 기초를 마련하여 발산을 더 자연스럽게 다룰 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 수열의 몫공간, 예를 들어 $\mathbb{R}^\mathbb{N}/\mathcal{I}$와 같은 스칼라 대수를 구성한다. 여기서 $\mathcal{I}$는 무시할 수 있는 수열의 아이디얼이다.
• 바나흐 극한과 그 유계수열을 초월한 연장의 불가능성을 이용하여 표준 일반화 극한의 한계를 보여준다.
• 비아르키메데스 대수—특히 $^*\mathbb{R}$, 비표준 실수—를 도입하여 $\mathbb{R}$의 자연스러운 확장으로서 무한과 무한소 스칼라를 허용한다.
• 바나흐 극한이 유계수열을 초월해 연장될 수 없다는 실패는 비아르키메데스 구조로의 전환을 필수로 한다는 것을 보여준다.
• 대수적 프레임워크를 물리 문제에 적용하여 영인자와 비아르키메데스 순서가 대수적 일관성과 함께 공존할 수 있음을 보여준다.
• 이러한 대수는 양자역학과 장론에서 표준 실수/복소수 스칼라로 대체될 수 있으며, 이는 파이먼 경로적분의 엄밀한 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 물리학에서 실수와 복소수를 스칼라로 사용하는 것이 언급되지 않은 축약된 원칙이 되었으며, 이러한 가정의 결과는 무엇인가?
• RQ2 비아르키메데스 스칼라 대수는 양자장론에서의 무한을 엄밀하게 다룰 수 있도록 구성될 수 있는가?
• RQ3 바나흐 극한과 같은 일반화된 극한을 비유계수열로 연장할 수 있는가? 이는 스칼라 대수에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 영인자와 비아르키메데스 순서는 물리이론에서 스칼라 대수의 일관성과 유용성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 파이먼 경로적분과 힐버트 공간 형식은 이러한 새로운 스칼라 대수를 사용하여 재정의될 수 있으며, 재규격화의 필요성을 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 유계수열을 초월해 바나흐 일반화 극한을 연장할 수 없다는 것은, 비유계수열 $\nu(n) = n$을 사용한 모순을 통해 입증된다. 만약 이 극한이 연장된다면 $0 = 1$이 도출된다.
• 비아르키메데스 대수, 예를 들어 $^*\mathbb{R}$는 자연스럽게 무한과 무한소 스칼라를 포함하고 있어 물리학에서의 무한을 엄밀하게 다룰 수 있다.
• 이 대수에 존재하는 영인자는 결함이 아니라 특징이다. 실수나 복소수 위에서의 행렬과 대수는 이미 이 성질을 가지고 있다.
• 표준 함수해석학이 무한을 엄밀하게 다루지 못한다는 점은, 양자장론의 일관된 수학적 기초를 위해 대체 스칼라 대수가 필요하다는 것을 시사한다.
• 이러한 새로운 대수들은 재규격화나 특수한 수단에 의존하지 않고, 발산을 체계적이고 대수적으로 다룰 수 있도록 한다.
• 이 논문은 힐버트 공간과 파이먼 경로적분을 이러한 대수에서 재정의하는 데 기반을 마련하며, 양자역학의 기초 문제에 대한 잠재적 해결책을 제시한다.