[논문 리뷰] When Does Adaptivity Help for Quantum State Learning?

Sitan Chen, Brice Huang외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비결합 측정을 사용한 양자 상태 톰그래피에서 적응성의 유용성을 규명한다. 추적 거리 추정에 있어서는 적응성이 아무런 이득을 주지 않으며, Ω(d³/ε²)의 복사본 수가 필요하다—기존의 상한과 정확히 일치한다. 그러나 위상 거리 추정에 있어서는 저자들이 최적의 O~(d³/γ) 복사본 복잡도를 달성하는 적응적 알고리즘을 설계하여 비적응적 방법보다 엄밀히 우월하다.

ABSTRACT

We consider the classic question of state tomography: given copies of an unknown quantum state $ρ\in\mathbb{C}^{d imes d}$, output $\widehatρ$ which is close to $ρ$ in some sense, e.g. trace distance or fidelity. When one is allowed to make coherent measurements entangled across all copies, $Θ(d^2/ε^2)$ copies are necessary and sufficient to get trace distance $ε$. Unfortunately, the protocols achieving this rate incur large quantum memory overheads that preclude implementation on near-term devices. On the other hand, the best known protocol using incoherent (single-copy) measurements uses $O(d^3/ε^2)$ copies, and multiple papers have posed it as an open question to understand whether or not this rate is tight. In this work, we fully resolve this question, by showing that any protocol using incoherent measurements, even if they are chosen adaptively, requires $Ω(d^3/ε^2)$ copies, matching the best known upper bound. We do so by a new proof technique which directly bounds the ``tilt'' of the posterior distribution after measurements, which yields a surprisingly short proof of our lower bound, and which we believe may be of independent interest. While this implies that adaptivity does not help for tomography with respect to trace distance, we show that it actually does help for tomography with respect to infidelity. We give an adaptive algorithm that outputs a state which is $γ$-close in infidelity to $ρ$ using only $ ilde{O}(d^3/γ)$ copies, which is optimal for incoherent measurements. In contrast, it is known that any nonadaptive algorithm requires $Ω(d^3/γ^2)$ copies. While it is folklore that in $2$ dimensions, one can achieve a scaling of $O(1/γ)$, to the best of our knowledge, our algorithm is the first to achieve the optimal rate in all dimensions.

연구 동기 및 목표

• 비적응적 프로토콜에 비해 적응적 비결합 측정이 양자 상태 톰그래피의 복사본 복잡도를 향상시킬 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 비결합 톰그래피에서 추적 거리에 대한 O(d³/ε²) 상한이 타이트한지 여부라는 오랫동안 미해결된 열린 문제를 해결하는 것.
• 특히 비결합 측정 환경에서 위상 거리 기반 상태 학습에 대해 적응성이 향상된 속도를 제공할 수 있는지 탐색하는 것.
• 적응적 프로토콜에 대해 엄밀한 하한을 도출하기 위해 사후 분포의 '기울기'를 직접 분석하는 새로운 베이지안 하한 기법을 개발하는 것.
• 비결합 측정 제약 조건 하에서 추적 거리 및 위상 거리 추정에 대해 최적의 복사본 복잡도를 확립하는 것.

제안 방법

• 적응적 측정 이후 사후 분포의 '기울기'를 분석하는 새로운 증명 기법을 도입하여, 고전적 정보이론 프레임워크에 의존하지 않는 방식을 채택한다.
• 불확실성을 모델링하고, 높은 신뢰도로 추정된 상태를 확보하기 위해 필요한 측정 수의 하한을 유도하기 위해 상태 학습 문제를 베이지안 형식으로 재구성한다.
• 행렬 농도 및 연산자 노름 부등식을 적용하여, 특히 적응적 측정 선택이 존재할 경우 사후 분포가 진짜 상태에서 벗어나지 않도록 제한한다.
• 측정 연산자의 스펙트럼 성질을 활용하여 진짜 상태와 추정 상태 간의 위상 거리에 대한 유효한 양의 정반비례 하한을 구성한다.
• O~(d³/γ) 복사본 수를 사용하는 위상 거리 추정을 위한 적응적 알고리즘을 설계하며, 로그 수준의 적응적 라운드를 통해 최적의 속도를 달성한다.
• 각 라운드가 이전 결과에 기반해 추정치를 정밀화하는 재귀적 측정 전략을 활용하여, 비적응적 방법에 비해 지수적 향상을 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비결합 상태 톰그래피에서 추적 거리에 대한 O(d³/ε²) 복사본 복잡도가 타이트한가, 아니면 적응성이 이를 줄일 수 있는가?
• RQ2 적응적 비결합 측정이 비적응적 방법보다 양자 상태 학습에서 더 낮은 복사본 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 위상 거리 기반 양자 상태 톰그래피의 최적 복사본 복잡도는 무엇이며, 적응성이 이를 달성할 수 있는가?
• RQ4 사후 기울기를 기반으로 한 새로운 베이지안 프레임워크가 적응적 비결합 측정 프로토콜에 대해 엄밀한 하한을 제공할 수 있는가?
• RQ5 로그 수준의 적응성이 최적의 속도를 달성하는 데 충분한가, 아니면 더 깊은 적응이 필요한가?

주요 결과

• 논문은 비결합 상태 톰그래피에서 추적 거리에 대해 Ω(d³/ε²)의 엄밀한 하한을 확립하여, 적응성이 비적응적 프로토콜에 비해 향상되지 않음을 증명한다.
• 이 하한은 [KRT17]에서 알려진 O(d³/ε²) 상한과 정확히 일치하며, 양자 정보이론에서 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 위상 거리 추정에 있어서는 저자들이 O~(d³/γ) 복사본 복잡도를 달성하는 적응적 알고리즘을 제시하여, 비결합 측정에서 최적임을 입증한다.
• 제안된 알고리즘은 비적응적 하한 Ω(d³/γ²)을 초월하여, 위상 거리 설정에서 적응성이 제곱 차이의 이점을 제공함을 보여준다.
• 사후 기울기를 기반으로 한 새로운 베이지안 증명 기법은 강력하고 일반화 가능하며, 다른 양자 학습 문제에 적용될 수 있을 것으로 보인다.
• 저자들은 로그 수준의 적응성이 최적의 속도를 달성하기 위해 필수적이라고 추측하며, 적응성 깊이와 복사본 복잡도 사이의 상충 관계를 시사한다.