[논문 리뷰] When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?

Jörg Jahnel|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 15.

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한 줄 요약

이 논문은 유리수 각도(도 단위)에서 코사인 또는 사인의 값이 유리수 또는 대수적 수가 되는 조건을 조사한다. 삼각함수 항등식, 단위근의 성질, 갈루아 이론을 이용하여, cos(α)가 유리수일 수 있는 경우는 오직 특정 각도(0°, 60°, 90°, 120°, 180°)에 국한되며, 오일러의 토티엔트 함수 φ(n)를 통해 대수적 값의 특성을 규명한다. 이는 α = m/n·360°인 유리수 각도에 대해 2cos(α)가 대수적 정수이며, 그 차수는 φ(n)/2임을 보여준다.

ABSTRACT

If the cosine of a rational multiple of $π$ is a rational number then it is an integral multiple of $\frac12$. For this fact, we give a proof accessible to an interested school student. We then discuss which quadratic and cubic irrationalities are values of cosine at ratinal multiples of $π$.

연구 동기 및 목표

• 유리수 각도 α에 대해 cos(α) 또는 sin(α)가 유리수일 조건을 규명하는 것.
• 이를 대수적 수로 확장하여, 특히 cos(α)가 낮은 차수의 대수적 정수일 조건을 규명하는 것.
• 유리수 각도 α = m/n·360°에 대해 대수적 수 cos(α)의 차수와 오일러의 토티엔트 함수 φ(n) 사이의 정확한 관계를 설정하는 것.
• 등분포성과 딜레르트의 상자 원리(또는 상자 원리)를 이용하여 무리수 각도에 의해 생성되는 SO₂(ℝ) 내의 회전의 조밀성을 정당화하는 것.
• 모든 주어진 차수에 대해 대수적 수인 cos(α)를 갖는 유리수 각도의 완전한 분류를 제공하는 것.

제안 방법

• 분모의 차수에 대한 내림차순 기법을 이용하여 cos(2α) = 2cos²(α) − 1의 이중각 항등식을 적용하여 cos(α)의 유리성 분석.
• Chebyshev 다항식 T_n을 사용한 항등식 cos(nα) = T_n(cos(α))를 적용하여, cos(α)가 정수 계수의 모닉 다항식을 만족함을 보임.
• 복소수 단위근을 활용: α = m/n·360°일 때 2cos(α) = ζ_n^m + ζ_n^{-m}이며, 이는 2cos(α)가 대수적 정수임을 보여줌.
• 갈루아 이론을 적용: [ℚ(ζ_n):ℚ] = φ(n), 그리고 cos(α) ∈ ℝ 이므로 n > 2일 때 [ℚ(cos(α)):ℚ] = φ(n)/2임을 도출.
• 디리클레의 상자 원리를 적용하여, 무리수 각도의 배수들이 360° 모듈로에서 조밀함을 증명함으로써 SO₂(ℚ)가 SO₂(ℝ)에 조밀하게 포함됨을 정당화함.
• 20°, 40° 등에 대해 x³ − 3x ± 1 등의 최소 다항식을 분석하여, 2cos(α)의 최소 다항식을 분석하고 대수적 차수를 분류함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리수 각도 α에 대해 cos(α)가 유리수일 조건은 무엇인가?
• RQ2 유리수 각도 α에 대해 cos(α)로 나타나는 대수적 수는 무엇이며, 그 차수는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 arccos(3/5)에 의한 회전이 왜 무리수 각도인지, 이는 SO₂(ℝ) 내의 조밀성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 α = m/n·360°일 때, 대수적 수 cos(α)의 차수는 오일러의 토티엔트 함수 φ(n)와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 cos(α)가 4차 또는 5차 무리수인 [0°, 90°] 범위 내의 모든 유리수 각도는 무엇인가?

주요 결과

• cos(α)가 유리수일 조건은 오직 α ∈ {0°, 60°, 90°, 120°, 180°}일 때이며, 이에 대응하는 cos(α) 값은 {−1, −1/2, 0, 1/2, 1}이다.
• gcd(m,n) = 1인 유리수 α = m/n·360°에 대해, 2cos(α)는 ℚ 위에서 차수 φ(n)/2의 대수적 정수이다.
• φ(n) = 8일 때, cos(α)는 4차 무리수이다. 이는 n = 15, 16, 20, 24, 30일 때 발생하며, 각도로는 12°, 15°, 18°, 22.5°, 24°, 30°, 48°, 54°, 60°, 67.5°, 72°, 75°, 84° 등이 포함된다.
• φ(n) = 10일 때, cos(α)는 5차 무리수이다. 이는 오직 n = 11과 22일 때 발생하며, 각도로는 180°/11 ≈ 16.36°, 2×180°/11 ≈ 32.73° 등이 포함된다.
• arccos(3/5)에 의한 회전은 무리수 각도이며, cos(α) = 3/5가 유리수 집합에 속하지 않기 때문이다. 이는 해당 행렬의 거듭제곱이 SO₂(ℝ)의 조밀한 부분군을 생성함을 의미한다.
• φ가 무리수 각도일 경우, {nφ mod 360° | n ∈ ℕ}의 집합은 [0°, 360°)에 조밀하다. 이는 딜레르트의 상자 원리를 통해 증명된다.