[논문 리뷰] When roll-overs do not qualify as numéraire: bond markets beyond short rate paradigms

Irene Klein, Thorsten Schmidt외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 은행 예금 계정 과정이 유동성 영향으로 인해 유동성 효과가 있는 다중 수익률 곡선 시장에서 유효한 수단으로서의 자격을 상실할 수 있음을 보여줌으로써 채권 시장 모델링을 재정의한다. 비상적 무료 식사 없음(NAFL) 및 제1종 무보상 없음(NAA1) 조건은 종단 채권을 수단으로 삼는 등가 국지 마르티니갈 측도의 존재와 동치이며, 이는 은행 예금 계정이 진정한 수단이 아니어도 복합 조합의 롤오버 전략에 대한 극한으로 일반화된 은행 예금 계정이 도출된다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We investigate default-free bond markets where the standard relationship between a possibly existing bank account process and the term structure of bond prices is broken, i.e. the bank account process is not a valid numéraire. We argue that this feature is not the exception but rather the rule in bond markets when starting with, e.g., terminal bonds as numéraires. Our setting are general càdlàg processes as bond prices, where we employ directly methods from large financial markets. Moreover, we do not restrict price process to be semimartingales, which allows for example to consider markets driven by fractional Brownian motion. In the core of the article we relate the appropriate no arbitrage assumptions (NAFL), i.e. no asymptotic free lunch, to the existence of an equivalent local martingale measure with respect to the terminal bond as numéraire, and no arbitrage opportunities of the first kind (NAA1) to the existence of a supermartingale deflator, respectively. In all settings we obtain existence of a generalized bank account as a limit of convex combinations of roll-over bonds. Additionally we provide an alternative definition of the concept of a numéraire, leading to a possibly interesting connection to bubbles. If we can construct a bank account process through roll-overs, we can relate the impossibility of taking the bank account as numéraire to liquidity effects. Here we enter endogenously the arena of multiple yield curves. The theory is illustrated by several examples.

연구 동기 및 목표

• 채권 시장에서 은행 예금 계정 과정이 항상 유효한 수단으로 간주되는 표준 가정에 도전하기 위해.
• 은행 예금 계정이 어떤 등가 측도 하에서도 마르티니갈이 되지 않을 때, 채권 가격과 은행 예금 계정 간의 표준 관계가 붕괴되는 채권 시장들을 조사하기 위해.
• 반세미마르티니갈 성질을 가정하지 않는 환경에서 은행 예금 계정이 아니라 종단 채권을 수단으로 삼는 무보상 프레임워크를 개발하기 위해.
• 은행 예금 계정이 진정한 수단이 아니어도 복합 조합의 롤오버 채권 극한으로 일반화된 은행 예금 계정이 어떻게 도출되는지를 정형화하기 위해.
• 은행 예금 계정이 수단으로서 실패하는 것과 유동성 효과 및 다중 수익률 곡선 역학 간의 연결고리를 제공하여 이러한 시장 구조에 대한 이론적 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 반세미마르티니갈 성질을 가정하지 않는 일반적인 càdlàg 채권 가격 과정을 분석하기 위해 대규모 금융 시장 이론을 사용한다.
• NAFL(비상적 무료 식사 없음)과 NAA1(제1종 보상 없음)을 통해 무보상 조건을 정의하고, 종단 채권을 수단으로 삼는 등가 국지 마르티니갈 측도의 존재와 연결한다.
• 세분화된 분할에 걸쳐 단기 채권의 복합 조합을 사용하여 롤오버 전략의 극한으로 일반화된 은행 예금 계정을 구성한다.
• 종단 채권을 수단으로 삼는 변경 기법을 적용하여, 할인된 채권 가격이 등가 측도 하에서 마르티니갈임을 보여준다.
• 버블이 가능하다는 가능성을 허용하는 새로운 수단 정의를 도입하고, 은행 예금 계정이 수단으로서 실패하는 것과 엄격한 국지 마르티니갈 행동 간의 연결고리를 맺는다.
• 특히 분수 차수 브라운 운동과 이토 유형 적분을 사용한 확률 미적분을 적용하여 반세미마르티니갈 가격 과정을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 채권 시장에서 은행 예금 계정 과정이 수단으로서 자격을 상실하는 조건는 무엇인가?
• RQ2 은행 예금 계정이 유효한 수단이 아니면, 비상적 무료 식사 없음(NAFL) 및 제1종 보상 없음(NAA1) 조건은 어떻게 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 은행 예금 계정이 어떤 등가 측도 하에서도 마르티니갈이 되지 않는 채권 시장에서 종단 채권이 수단으로서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 반세미마르티니갈 가격 과정이 없는 시장에서 일반화된 은행 예금 계정은 롤오버 전략의 극한으로 어떻게 도출되는가?
• RQ5 은행 예금 계정이 수단으로서 실패하는 것과 다중 수익률 곡선 시스템에서의 유동성 효과 간의 연결고리는 무엇인가?

주요 결과

• 은행 예금 계정 과정은 존재하더라도, 역성장 최적 포트폴리오의 엄격한 국지 마르티니갈 성질로 인해 유효한 수단이 될 수 없다.
• 무보상(NAFL)은 종단 채권을 수단으로 삼는 등가 국지 마르티니갈 측도의 존재와 동치이다.
• 제1종 보상 없음(NAA1)은 초마르티니갈 디폴레이터의 존재와 동치이다.
• 일반화된 은행 예금 계정은 반세미마르티니갈 설정, 예를 들어 분수 차수 브라운 운동에 의해 구동되는 경우에도 복합 조합의 롤오버 채권 극한으로 도출된다.
• 예시에서 $ Z(T) = \exp(T - 2\int_0^T W_s^2 ds - W_T^2) $ 일 때, 할인된 롤오버 계정 $ V(T) = Z(\tau(T)) $ 는 $ T \to \infty $ 일 때 거의 확실히 0으로 수렴하며, 이는 $ B(1) = 0 $ 이므로 롤오버 전략이 총 자본 손실을 초래함을 의미한다.
• 롤오버 계정 $ B^n $ 의 극한은 $ \exp(-2\int_0^{\tau(T)} W_s^2 ds + \tau(T) - \tau^2(T)) $ 로 수렴하며, 이는 기초 과정이 진정한 마르티니갈이 아니면 무위험 롤오버 전략이 매우 위험할 수 있음을 보여준다.