[논문 리뷰] Which random walks are cyclic?

Davide Gabrielli, Carla Valente|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 26.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 무작위 보행이 $ζ^d$, 유한 그래프, 이산 토러스에서 순환 분해를 갖는 조건을 규명한다—즉 전이 확률을 유한 순환의 초월합으로 표현할 수 있는지 여부를 다룬다. 주요 결과로는, $ζ^d$에서 이동 불변 무작위 보행이 순환임과 동치인 조건은 점프 분포가 균형 잡혀 있을 때이며, 유한 그래프에서는 각 정점에서의 유량 균형과 순환 분해가 동치임을 보여준다. 극한 경우는 Birkhoff–von Neumann 및 Carathéodory 정리로 특성화된다. 두 차원에서는 이차 순환을 위한 이산 호지 분해와 헬리의 정리를 사용하여 완전한 특성화가 이루어진다.

ABSTRACT

A cyclic random walk is a random walk whose transition probabilities/rates can be written as a superposition of the empirical measures of a family of finite cycles. This identifies a convex set of models. We discuss the problem of characterization of cyclic random walks in some special cases showing that it is related to several remarkable and classical results. In particular we introduce the notion of balanced measure and show that a translation invariant random walk on $\mathbb Z^d$ is cyclic if and only if its transition probability is balanced. The characterization of the extremal elements is obtained using the Carathéodory's Theorem of convex analysis. We then show that a random walk on a finite set is cyclic if and only if at every vertex the outgoing flux of the transition graph is equal to the ingoing flux. The extremal elements are characterized by the Birkhoff-Von-Neumann Theorem. Finally we consider the discrete torus and discuss when the cyclic decomposition can be done using only homotopically trivial cycles or elementary cycles associated to edges and two dimensional faces. While in one dimension this is equivalent to require some geometric properties of a discrete vector field associated to the transition rates, in two dimension this is not the case. In particular we give a simple characterization of the polyhedron of the rates admitting a cyclic decomposition with elementary cycles. The proof is based on a discrete Hodge decomposition, elementary homological algebra and the Helly's Theorem of convex analysis. Finally we discuss a natural discretization procedure of smooth divergence free continuous vector fields and an application to random walks in random environments.

연구 동기 및 목표

• 유한 순환의 초월합으로 분해될 수 있는 무작위 보행을 특성화하는 것—이는 깊은 확률론적 및 기하학적 성질과 관련된다.
• 이동 불변 무작위 보행의 순환 분해에 대해 필요한 및 충분한 조건을 균형 잡힌 측도의 개념을 사용하여 $ζ^d$에서 설정하는 것.
• 유한 그래프에서는 유량 균형을 통해, 이산 토러스에서는 호모토피적으로 자명하거나 기본 순환을 통해 특성화를 확장하는 것.
• 이러한 분해가 존재하는지 판단하기 위한 기하학적 및 대수적 프레임워크—이산 호지 분해와 볼록 기하학을 활용하는 것.
• 특히 주기적 또는 매끄러운 발산이 없는 벡터장이 있는 무작위 환경에서의 무작위 보행에 결과를 적용하는 것.

제안 방법

• 균형 잡힌 측도의 개념을 도입한다: 원점을 통과하는 임의의 초평면에 대해, 점프 벡터가 각 반공간으로의 기대 거리가 동일하다.
• Carathéodory 정리를 사용하여 $ζ^d$에서 극한 순환 무작위 보행을 최대 $d+1$개의 순환의 볼록 조합으로 특성화한다.
• Birkhoff–von Neumann 정리를 적용하여 유한 그래프에서 극한 순환 분해를 균일한 가중치를 가진 순환 지지 집합의 볼록 조합으로 특성화한다.
• 이산 호지 분해를 활용하여 전이 비율을 잠재 함수와 연결하고, $\phi = d\psi$를 만족하는 이산 벡터장 $\phi$를 정의한다.
• 볼록 해석에서의 헬리의 정리를 사용하여 2차원 토러스에서 기본 순환으로 분해 가능한 비율의 다면체를 특성화한다.
• 매끄러운 발산이 없는 벡터장을 격자에서 조각별로 일정한 잠재 함수로 이산화하여 유량을 0으로 유지하고, 순환 분해를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 불변 무작위 보행이 $ζ^d$에서 순환일 조건은 무엇이며, 점프 분포에 어떤 조건이 필요할까?
• RQ2 유한 그래프에서 전이 비율에 어떤 조건이 있어야 무작위 보행이 순환 분해를 갖는가?
• RQ3 이산 토러스에서 순환 분해를 기본 순환(모서리 및 면에 관련된)으로 제한할 수 있으며, 이를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이산 호지 분해는 두 차원에서 전이 비율이 순환 분해 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 무작위 환경에서의 무작위 보행이 순환 분해를 통해 고정된 중심극한정리(queched central limit theorem)를 만족하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 이동 불변 무작위 보행이 $ζ^d$에서 순환임과 동치인 조건은 점프 분포가 균형 잡혀 있을 때이며, 이는 원점을 통과하는 임의의 초평면에 대해 양쪽 반공간으로의 기대 이동 거리가 동일할 때이다.
• 유한 그래프에서 순환 분해가 가능한 극한 무작위 보행은 전이 확률이 최대 $d+1$개의 벡터에만 지지되는 경우이며, 이는 Carathéodory 정리에 의해 보장된다.
• 유한 그래프에서 마코프 체인은 각 정점에서 유량의 유출과 유입이 동일할 때, 즉 전이 그래프가 균형 잡혀 있을 때에만 순환임이 보장된다.
• 유한 그래프에서의 극한 순환 분해는 Birkhoff–von Neumann 정리로 특성화되며, 이는 균일한 가중치를 가진 순환 지지 집합에 해당한다.
• 2차원 이산 토러스에서 기본 순환으로 분해 가능한 비율의 집합은 다면체이며, 이는 이산 호지 이론과 헬리의 정리를 사용하여 완전히 특성화된다.
• 비율 행렬이 기본 순환으로 순환 분해를 갖는 데 충분한 조건은 비율 행렬의 대칭 부분이 잠재 함수의 이중 그래프의 지름을 지배할 때이다. 이 지름은 스패닝 트리에 의해 추정된다.