[논문 리뷰] Whitham modulation theory for generalized Whitham equations and a general criterion for modulational instability

Adam L. Binswanger, Mark A. Hoefer외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 04.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 73인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 Whitham 방정식을 임의의 비선형 유속 함수 f(u)와 선형 분산 관계 Ω(k)를 포함하도록 일반화하여 Whitham 조율 이론을 위한 통합적 프레임워크를 유도한다. 이는 modulational instability에 대한 일반화된 Lighthill-Whitham 기준을 수립한다—n(u,k)Ω''(k) < 0—이 기준은 f(u)와 Ω(k)에 명시적으로 의존하며, 수면파, 내부파, 수중탄성파를 포함한 다양한 물리계에서의 안정성 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Whitham equation was proposed as a model for surface water waves that combines the quadratic flux nonlinearity $f(u) = frac{1}{2}u^2$ of the Korteweg-de Vries equation and the full linear dispersion relation $\Omega(k) = \sqrt{k anh k}$ of uni-directional gravity water waves in suitably scaled variables. This paper proposes and analyzes a generalization of Whitham's model to unidirectional nonlinear wave equations consisting of a general nonlinear flux function $f(u)$ and a general linear dispersion relation $\Omega(k)$. Assuming the existence of periodic traveling wave solutions to this generalized Whitham equation, their slow modulations are studied in the context of Whitham modulation theory. A multiple scales calculation yields the modulation equations, a system of three conservation laws that describe the slow evolution of the periodic traveling wave's wavenumber, amplitude, and mean. In the weakly nonlinear limit, explicit, simple criteria in terms of general $f(u)$ and $\Omega(k)$ establishing the strict hyperbolicity and genuine nonlinearity of the modulation equations are determined. This result is interpreted as a generalized Lighthill-Whitham criterion for modulational instability.

연구 동기 및 목표

• 원래 Whitham 방정식을 초월해 임의의 f(u)와 Ω(k)를 갖는 광범위한 일반화된 Whitham 방정식 클래스로 Whitham 조율 이론을 확장하기.
• 주기적인 진행파의 파수, 진폭, 평균의 느린 진동을 기술하는 세 개의 보존법칙 형태로 조율 방정식을 유도하기.
• 약한 비선형 영역에서 조율 불안정성에 대한 일반화된 Lighthill-Whitham 기준을 수립하기.
• 지구물리유체역학 모델에 이 те오리 적용하기—중력-표면장력파, 수중탄성파, 내부파 포함.
• 일반화된 모델로부터 NLS 방정식을 통합적으로 유도함으로써 이 프레임워크의 유용성을 입증하기.

제안 방법

• f(u)의 기호를 갖는 Fourier 승수 K∗를 갖는 일반화된 Whitham 방정식을 ut + f(u)x + K∗ux = 0 형태로 설정하며, 여기서 K∗는 Ω(q)/q의 기호를 갖는 Fourier 승수이다.
• 다중 척도 점근 전개를 적용하여 느린 변수인 파수, 진폭, 평균에 대한 세 개의 보존법칙 형태로 조율 방정식을 유도한다.
• 분석적 취급 가능성을 확보하기 위해 Plancherel 정리를 사용하여 조율 평균을 주파수 도메인에서 표현한다.
• 약한 비선형 근사에서 조율 시스템을 명시적이고 준선형 형태로 표현하기 위해 분석을 수행한다.
• 조율 시스템의 엄밀한 쌍곡성과 진정한 비선형성 분석을 통해 일반화된 Lighthill-Whitham 기준을 도출한다.
• f(u)와 Ω(k)를 특정하여 물리적 모델에 기준을 적용하며, 밀도 비율 ˜ρ = 0.5와 ˜ρ = 0.99인 내부파 시스템을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 f(u)와 Ω(k)를 갖는 스칼라형 완전 분산 파동 방정식에 대해 Whitham 조율 방정식의 일반형은 무엇인가?
• RQ2 약한 비선형 영역에서 주기적인 진행파의 조율 불안정성은 f(u)와 Ω(k)에 대해 어떻게 결정되는가?
• RQ3 원래 KdV 기반 수식을 초월해 일반화된 Lighthill-Whitham 기준은 무엇인가?
• RQ4 고차 비선형성은 내부파 시스템에서 주기파의 안정성 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일반화된 Whitham 프레임워크를 사용하여 다양한 물리 모델에 대해 NLS 방정식을 통합적으로 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 Whitham 방정식에 대한 조율 방정식은 파수, 진폭, 평균의 느린 진동을 지배하는 세 개의 보존법칙으로 유도되었다.
• 약한 비선형 근사에서 조율 시스템은 n(u,k)Ω''(k) < 0이면 엄밀히 쌍곡적이며 진정한 비선형성을 갖는다. 여기서 n(u,k)는 f(u)와 Ω(k)로부터 유도된 비선형 계수이다.
• 조율 불안정성에 대한 일반화된 Lighthill-Whitham 기준은 n(u,k)Ω''(k) < 0로 수립되었으며, 이는 특정 f(u)와 Ω(k)를 갖는 모든 모델에 적용 가능한 통합 안정성 조건을 제공한다.
• 밀도 비율 ˜ρ = 0.99인 내부파 시스템에서 주기파의 안정 및 불안정 영역은 MI 지수 ˜n(0,k)Ω''(k)로 둘러싸여 있으며, 파랑 점선은 안정성 경계를 표시한다.
• 이 프레임워크를 통해 f(u)와 Ω(k)를 특정함으로써 일반화된 Whitham 모델에서 NLS 방정식을 직접 유도할 수 있으며, 각 사례에 대해 전체 점근적 재유도가 필요로 하지 않는다.
• 이 이론은 KdV, Benjamin-Ono, 중간 길이 파, 수중탄성파 시스템을 포함한 다양한 물리 모델에 적용 가능하며, 일반화된 기준에 의해 명시적인 안정성 경계가 결정된다.