[논문 리뷰] Whitney equisingularity of families of surfaces in $\mathbb{C}^3$

María Aparecida Soares Ruas, O. N. Silva|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유명한 루아스의 추측, 즉 유한하게 결정된 사상 원소 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$의 1-매개변수 변형에서 위상적 비특이성이 윌드니 등싱률성을 함의한다는 것에 대해 연구한다. 반례를 통해 일반적으로 이 추측이 잘못되었음을 보이며, 이중점 곡선의 밀놀 수 $\mu(D(f_t))$의 일정성이 윌드니 등싱률성을 보장하지 못하는 여러 방식을 설명한다. 그러나 $\gcd(n,m)\neq2$인 동차 사상 원소의 클래스에 대해 이 추측이 성립함을 규명하여, 25년 만에 문제에 대한 완전한 해답을 제시한다.

ABSTRACT

In this work, we study families of singular surfaces in $\mathbb{C}^3$ parametrized by $\mathcal{A}$-finitely determined map germs. We consider the topological triviality and Whitney equisingularity of an unfolding $F$ of a finitely determined map germ $f:(\mathbb{C}^2,0) ightarrow(\mathbb{C}^3,0)$. We investigate the following conjecture: topological triviality implies Whitney equisingularity of the unfolding $F$? We provide a complete answer to this conjecture, given counterexamples showing how the conjecture can be false.

연구 동기 및 목표

• 1994년 루아스의 추측, 즉 유한하게 결정된 사상 원소 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$의 1-매개변수 변형에서 위상적 비특이성이 윌드니 등싱률성을 함의한다는 것을 해결하는 것.
• 이중점 곡선의 밀놀 수 $\mu(D(f_t))$의 일정성이 윌드니 등싱률성에 충분한지 조사하는 것.
• 반례를 구성하고 성립 조건을 규명하여 추측에 대한 완전한 해답을 제공하는 것.
• 표면 가닥에 있어서 윌드니 등싱률성을 특징짓는 극 다중성과 하이르베르트-사무엘 다중성의 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 밀놀 수 $\mu(D(f_t))$는 일정하지만 고차 다중성이 일정하지 않은 사상 원소의 가닥을 이용해 루아스의 추측에 대한 명시적 반례를 구성하는 것.
• 윌드니 등싱률성의 Gaffney의 특성화를 적용하여 $\mu(D(f_t))$, $m_1(f_t(\mathbb{C}^2),0)$, $m_0(f_t(D(f_t)))$의 일정성이 성립하는지 분석하는 것.
• 이deal $\mathcal{I}^2(f)$와 야코비안 행렬 $\alpha_{ij}$의 $2\times2$ 소행렬식을 이용해 이중점 곡선 $D(f)$와 그 올림프 $D^2(f)$를 분석하는 것.
• 이중점 곡선 $D(f)$의 기약 성분의 매개변수화 및 차수 분석을 통해 $\mu(D(f_t))$, $m_0(f_t(D(f_t)))$, $\mu_1(f_t(\mathbb{C}^2))$ 등의 다중성을 계산하는 것.
• 동차 사상 원소 $f(x,y) = (x^n, y^m, (x+y)^k)$에서 $n,m,k$가 두 개씩 서로소이고 $n < m < k$일 때, $d = nmk - n - m - k + 2$ 이면 $m_0(f(D(f))) = \frac{dn}{2}$ 공식을 적용하는 것.
• 레마 7.1과 정리 7.2를 적용하여, $f(D(f))$의 모든 성분이 매끄럽다면 위상적 비특이성이 윌드니 등싱률성을 함의함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한하게 결정된 사상 원소 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$의 1-매개변수 변형 $F$에서 위상적 비특이성이 윌드니 등싱률성을 함의하는가?
• RQ2 이중점 곡선의 밀놀 수 $\mu(D(f_t))$의 일정성이 변형 $F$의 윌드니 등싱률성에 충분한가?
• RQ3 복소수 평면 $\mathbb{C}^3$ 내 표면 가닥에서 위상적 비특이성이 윌드니 등싱률성을 함의하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 특정 클래스의 사상 원소, 예를 들어 $\gcd(n,m)\neq2$인 동차 사상 원소에서는 이 추측이 참일 수 있는가?
• RQ5 하이르베르트-사무엘 다중성 $m_0(f_t(D(f_t)))$와 첫 번째 극 다중성 $m_1(f_t(\mathbb{C}^2),0)$은 윌드니 등싱률성을 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유한하게 결정된 사상 원소 $f:(\mathbb{C}^2,0)\to(\mathbb{C}^3,0)$의 1-매개변수 변형에서 위상적 비특이성이 윌드니 등싱률성을 함의한다는 추측은 명시적 반례를 통해 일반적으로 잘못됨이 입증됨.
• 밀놀 수 $\mu(D(f_t))$만으로는 윌드니 등싱률성을 보장하지 못함을 보여주는 예시들에서, $\mu(D(f_t))$는 일정하지만 $m_0(f_t(D(f_t)))$ 또는 $m_1(f_t(\mathbb{C}^2),0)$는 변동함.
• 동차 사상 원소 $f(x,y) = (x^n, y^m, (x+y)^k)$에서 $n,m,k$가 두 개씩 서로소이고 $n < m < k$일 때, 이중점 곡선 $D(f)$는 $d = nmk - n - m - k + 2$개의 매끄러운 기약 성분을 가지며, 이 모든 성분은 식별 성분임.
• 이 동차 사상 원소의 클래스에서 $\gcd(n,m) \neq 2$이면, 위상적 비특이성이 윌드니 등싱률성을 함의함. 왜냐하면 $f(D(f))$의 모든 성분이 매끄럽기 때문에 각 성분에 대해 $m_0(f(D(f))) = 1$이기 때문이다.
• 이러한 동차 사상 원소에 대해 공식 $m_0(f(D(f))) = \frac{dn}{2}$가 성립함. 여기서 $d$는 $D(f)$의 기약 성분 수이고 $n$은 첫 번째 성분의 차수임.
• 이 동차 사상 원소에 대해 첫 번째 극 다중성 $\mu_1(f(\mathbb{C}^2))$는 $(n-1)(m-1) + dn$으로 주어지며, 여기서 $d = nmk - n - m - k + 2$임.