[논문 리뷰] Whittaker functions associated to newforms for GL(n) over p-adic fields

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 체 $F$ 위의 $ {GL}_n(F)$의 기약 일반 표현의 신형식에 관련된 윌리커 함수에 대한 명시적 공식을 제시한다. 이 공식은 표현의 $L$-인자와 히케 고유값을 통해 기술되며, 핵심 결과로는 $ {GL}_1(F)$ 위에서 이러한 윌리커 함수를 적분하면 표현의 표준 $L$-함수를 얻을 수 있음을 보여준다. 이는 신형식 설정으로의 셴타니의 비가역 케이스에 대한 공식을 히케 대수 작용과 대칭 함수를 통해 일반화한 것이다.

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field of characteristic zero. Jacquet, Piatetski-Shapiro and Shalika introduced the notion of newforms for irreducible generic representations of GL_n(F). In this paper, we give an explicit formula for Whittaker functions associated to newforms on the diagonal matrices in GL_n(F).

연구 동기 및 목표

• Shintani의 $ {GL}_n(F)$의 $p$-진 체에서의 구면 윌리커 함수에 대한 명시적 공식을 신형식의 경우로 확장한다.
• 대각 행렬에서의 신형식에 관련된 윌리커 함수를 히케 고유값과 표현의 $L$-인자로 기술한다.
• 신형식 윌리커 함수를 사용한 제타 적분 표현을 통해 $L$-함수를 수립한다.
• Rankin-Selberg 유형 제타 적분을 계산하는 데에 충분한, $BK_{c(\pi)}$에서의 신형식 윌리커 함수에 대한 구성적 공식을 제공한다.

제안 방법

• 신형식의 일치하는 일치 공간을 가지는 컴팩트 열린 부분군 $K_{c(\pi)}$와 관련된 히케 대수를 사용하며, 이는 히케 고유값 $\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}$를 통한 스칼라 곱으로 주어진다.
• 기능적 방정식을 차분 방정식 시스템으로 변환하기 위해 정규화된 윌리커 함수 $\widetilde{w}(f) = q^{\sum (n-1-j)f_j} W(\varpi^f)$를 정의한다.
• 변수 $\mu_i$에서의 기본 대칭 다항식을 사용하여 차분 방정식 시스템을 해결하며, 이는 랑글랜드 매개변수 $\alpha_i$와 $\mu_i = q^{(n-1)/2 - 1} \alpha_i$ 관계로 연결된다.
• 대각 행렬 $\varpi^f = \mathrm{diag}(\varpi^{f_1}, \dots, \varpi^{f_{n-1}}, 1)$에서 윌리커 함수를 $W(\varpi^f) = \delta_B^{1/2}(\varpi^f) s_f(\alpha) W(1)$로 표현하며, 이는 $f_1 \geq \dots \geq f_{n-1} \geq 0$일 때 성립하고, 그 외에는 0이다.
• 키릴로프 모델과 아이와사와 분해를 사용하여 어떤 $\varpi^f$에서의 비영성 보장하고, 비영인 신형식에 대해 $W(1) \neq 0$임을 증명한다.
• 표준 $L$-함수 $L(s,\pi)$가 $W(1) = 1$일 때 $Z(s,W) = \int_{F^\times} W(t(a)) |a|^{s - (n-1)/2} d^\times a$가 $ {GL}_1(F) \subset \r{GL}_n(F)$ 위에서 윌리커 함수를 적분하여 얻어짐을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Shintani의 $ {GL}_n(F)$의 $p$-진 체에서의 구면 윌리커 함수에 대한 명시적 공식을 어떻게 신형식의 경우로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 신형식에 관련된 윌리커 함수가 $ {GL}_n(F)$의 대각 행렬에서 정확히 어떻게 표현되는가?
• RQ3 신형식의 히케 대수의 히케 고유값은 표현의 $L$-인자와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 기약 일반 표현 $\pi$의 $L$-인자를 그 신형식 윌리커 함수의 제타 적분으로 복원할 수 있는가?
• RQ5 신형식 윌리커 함수의 공식이 Rankin-Selberg 이론에서 제타 적분을 계산하는 데에 얼마나 충분한가?

주요 결과

• 신형식에 관련된 윌리커 함수 $W$는 $f_1 \geq \dots \geq f_{n-1} \geq 0$일 때 $W(\varpi^f) = \delta_B^{1/2}(\varpi^f) s_f(\alpha) W(1)$를 만족하며, 그 외에는 0이다. 여기서 $s_f(\alpha)$는 랑글랜드 매개변수 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$에서의 완전한 동차 대칭 다항식이다.
• 히케 고유값 $\lambda_i$는 $L(s,\pi) = \left( \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i \lambda_i q^{i(i-1)/2 - i((n-1)/2 + s)} \right)^{-1}$를 통해 $L$-인자와 관련되며, 매개변수 $\mu_i = q^{(n-1)/2 - 1} \alpha_i$는 $\widetilde{w}(f)$의 차분 방정식의 해를 이룬다.
• 제타 적분 $Z(s,W) = \int_{F^\times} W(t(a)) |a|^{s - (n-1)/2} d^\times a$는 $W$가 $W(1) = 1$인 신형식일 때 표준 $L$-함수 $L(s,\pi)$와 일치한다.
• 공식은 $BK_{c(\pi)}$에서 윌리커 함수를 결정하며, 모든 데이터가 신형식일 때 제타 적분 계산에 충분하다.
• 신형식의 공간은 일차원이며, 비영인 모든 신형식에 대해 $W(1) \neq 0$이므로 정규화가 가능하다.
• 결과는 $c(\pi) > 0$과 히케 대수 방법을 통해 비가역 케이스로의 셴타니 공식을 일반화한다.