[논문 리뷰] Whittaker functions on ${ m GL}_n$ via theta lifting

Shih-Yu Chen, Yao Cheng|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 06.

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한 줄 요약

본 논문은 쌍(GL_n, GL_{n+1})에 대한 명시적 θ 대응을 통한 Whittaker 함수의 명시적 공식에 대한 세 번째 접근법을 개발하고, GL_n(C)에 대한 새로운 아키메데안 공식을 도출하며 Asai 로컬 제타 적분을 계산한다.

ABSTRACT

In the literature, two main approaches have been used to establish explicit formulas or propagation formulas for Whittaker functions over Archimedean local fields: one based on Jacquet integrals, and the other on the analysis of systems of partial differential equations. In this paper, we introduce a third approach via explicit theta correspondence. As an example, we derive new cases of explicit formulas for Whittaker functions on ${ m GL}_n(\mathbb{C})$ and compute the associated Asai local zeta integrals.

연구 동기 및 목표

• 자동화함수적 및 L-함수 맥락에서 명시적 Whittaker 공식의 필요성을 제시한다.
• 아키메데안 설정에서 GL_n에 대한 θ-상관 기반 전파 프레임워크를 도입한다.
• GL_n(C)에서의 Whittaker 함수에 대한 명시적 공식을 도출하고 이를 Asai 제타 적분과 연관시킨다.
• 이들 공식을 통해 아키메데안 필드 전반에 걸친 알려진 결과를 통합하고 확장하는 방법을 보인다.

제안 방법

• 환원적 듀얼 쌍 (GL_n, GL_{n+1})과 Weil 표현을 설정한다.
• W_pi를 W_Pi에 연결하는 명시적 전파 공식으로서 θ-리프트를 설명한다.
• T^+_n, N_{n+1}, 그리고 한 쌍 매칭을 포함하는 θ-리프트 적분을 통해 최소 K_{n+1}-타입 Whittaker 함수들 사이의 관계식을 얻는다.
• θ-리프트 프레임워크를 Shintani, Ishii–Stade 등으로 알려진 공식들의 특수 사례로 연결한다.
• 새로운 명시적 공식들을 적용하여 GL_n(C)의 Asai 로컬 제타 적분을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적 θ 리프트가 W_pi를 이용해 theta(pi^∨)의 Whittaker 함수를 기술할 수 있는가?
• RQ2 최소 K-타입 Whittaker 함수에 대한 전파 공식이 아키메데안 설정의 θ 상관으로부터 자연스럽게 도출되는가?
• RQ3 새로운 GL_n(C) Whittaker 공식이 기존의 아키메데안 및 비-아키메데안 결과와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 공식들이 Asai 로컬 제타 적분의 계산에 어떤 영향을 끼치는가?
• RQ5 이 θ-리프팅 관점이 일반적 공식을 특수한 경우로 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 명시적 상호결합 구성은 Π = π × 1일 때 S ⊗ W(pi, ψ_n)에서 W(Π, ψ_{n+1})로의 영이 아닌 사상을 도출한다.
• 전파 공식은 이중 적분 over T^+_n와 N_{n+1}(F)을 통해 W_Π를 W_π의 형태로 표현한다.
• 이 접근법은 아키메데안 및 비아키메데안 필드 모두에서 구면 Whittaker 함수에 대한 알려진 공식을 theta-전파의 사례로서 복원하고 통합한다.
• 전파 프레임워크에서 유도된 새로운 명시적 GL_n(C) Whittaker 공식이 Asai 로컬 제타 적분과 연결된다.
• Asai 로컬 제타 적분은 이 새로운 명시적 Archimedean Whittaker 공식을 사용하여 계산된다.