[논문 리뷰] Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance?

Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 1975년에 마이클 그로모프의 널리 인용된 작업보다 6년 앞서 대표적인 거리 개념을 정의한 사람이 데이비드 에드워즈임을 입증한다. 에드워즈는 유계 수열 공간에의 등장사상에 기반해 거리를 정의하고, 그 거리의 거리성 성질을 증명했지만, 그의 기초적인 기여는 문헌에서 체계적으로 간과되어 왔다.

ABSTRACT

One of the most beautiful notions of metric geometry is the Gromov-Hausdorff distance which measures the difference between two metric spaces. To define the distance, let us isometrically embed these spaces into various metric spaces and measure the Hausdorff distance between their images. The best matching corresponds to the least Hausdorff distance. The idea to compare metric spaces in such a way was described in M.Gromov publications dating back to 1981. It was shown that this distance being restricted to isometry classes of compact metric spaces forms a metric which is now called Gromov-Hausdorff metric. However, whether M.Gromov was the first who introduced this metric? It turns out that 6 years before these Gromov's works, in 1975, another mathematician, namely, David Edwards published a paper in which he defined this metric in another way. Also, Edwards found and proved the basic properties of the distance. It seems unfair that almost no one mentions this Edwards's paper including well-known specialists in metric geometry. The main goal of the present publication is to fill this gap.

연구 동기 및 목표

• 그로모프–하우스도르프 거리의 역사적 귀속을 해결하여, 마이클 그로모프가 이 개념을 창안했다는 일반적인 믿음을 도전한다.
• 데이비드 에드워즈가 1975년에 "스퍼스페이스의 구조"라는 논문에서 거리를 정의했으며, 그로모프의 작업보다 6년 앞선다는 것을 보여준다.
• 에드워즈가 거리를 정의한 것 외에도 그 거리의 거리성 성질과 기초적인 위상적 특성을 증명했다는 점을 부각한다.
• 메트릭 기하학 분야의 주요 참고문헌과 교과서에서 에드워즈의 작업이 널리 생략된 이유를 바로잡는다.
• 에드워즈의 논문이 메트릭 기하학의 기초적인 작업으로 인정받기를 주장하며, 그의 역사적 소외를 바로잡는다.

제안 방법

• 공통된 메트릭 공간에 대한 등장사상에 기반한 그로모프–하우스도르프 거리의 형식적 정의를 분석하고, 이러한 이미지들의 하우스도르프 거리의 하한을 고려한다.
• 그로모프의 1981년 공식화와 에드워즈의 1975년 정의를 비롯한 이격합집합 위의 허용 가능한 메트릭과 왜곡을 갖는 대응을 사용하여 비교한다.
• ℓ∞에 대한 임베딩에서의 하우스도르프 거리와 대응 기반 왜곡 공식 간의 등가성을 적용하여, 에드워즈의 거리가 표준 그로모프–하우스도르프 거리와 일치함을 보여준다.
• 에드워즈가 컴팩트 메트릭 공간의 등장사상 클래스 위에서 거리가 메트릭임을 증명하고, 완비성, 분리 가능성, 국소 컴팩트성 부재와 같은 핵심 위상적 성질을 확립했다는 점을 검토한다.
• 그로모프의 공식화와 에드워즈의 공식화에 따른 그로모프–하우스도르프 공간의 위상적 및 기하학적 성질을 비교하여, 두 공식화가 완전히 동치임을 보여준다.
• 에드워즈의 논문이 학술 문헌에서 인용된 사례를 기록하며, 위키피디아와 F. 라트레몰리에르의 작업을 포함하여, 역사적 간과에도 불구하고 그의 영향력과 인정을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 누가 처음으로 그로모프–하우스도르프 거리를 정의했으며, 언제 공식적으로 소개되었는가?
• RQ2 그로모프의 1981년 공식화와 에드워즈의 1975년 정의 사이의 주요 차이점과 유사점은 무엇인가?
• RQ3 에드워즈의 1975년 논문이 그 기초적인 성격에도 불구하고 문헌에서 왜 체계적으로 간과되었는가?
• RQ4 그로모프–하우스도르프 공간의 위상적 및 기하학적 성질이 에드워즈의 공식화에 의해 유도된 성질과 어느 정도 일치하는가?
• RQ5 학술 문헌에서 에드워즈의 작업에 대한 인정 증거는 무엇이며, 그의 중요성에도 불구하고 왜 그는 다수의 논문에서 다소 낮은 인용률을 보이는가?

주요 결과

• 데이비드 에드워즈는 1975년에 "스퍼스페이스의 구조"라는 논문에서 그로모프–하우스도르프 거리를 정의했으며, 그로모프의 작업보다 6년 앞선다.
• 에드워즈의 정의는 ℓ∞에 대한 등장사상과 하우스도르프 거리의 하한에 기반하며, 수학적으로 표준 그로모프–하우스도르프 거리와 동치이다.
• 에드워즈는 컴팩트 메트릭 공간의 등장사상 클래스 위에서 거리가 메트릭임을 증명했으며, 완비성, 분리 가능성, 국소 컴팩트성 부재와 같은 핵심 위상적 성질을 확립했다.
• 에드워즈의 거리에 기반한 컴팩트 메트릭 공간의 공간은 수축 가능하고, 기하학적 길이를 가지며, 비콤팩트이며, 유한한 메트릭 공간들이 밀도를 이룬다—이러한 성질들은 그로모프–하우스도르프 공간과 정확히 일치한다.
• 기초적인 역할을 하였음에도 불구하고, 에드워즈의 논문은 그로모프, 부라고, 기타 주요 저서들에서 거의 인용되지 않는다.
• 이 논문은 에드워즈의 작업이 위키피디아의 수정 이전 버전과 F. 라트레몰리에르의 저술 외에는 거의 인정받지 못했음을 기록하며, 그의 역사적 소외를 부각한다.