[논문 리뷰] Who witnesses The Witness? Finding witnesses in The Witness is hard and sometimes impossible

Zachary Abel, Jeffrey Bosboom외 6명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Advanced Image and Video Retrieval Techniques인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 The Witness 비디오 게임의 연필과 종이 퍼즐의 계산 복잡도를 분석하며, 대부분의 퍼즐 유형—예를 들어 육각형, 삼각형, 정사각형, 별, 폴리오미노, 반폴리오미노—가 해결하는 데 NP-완전임을 보여준다. 이는 유효한 해(증거)는 존재하지만 찾기 어렵다는 뜻이다. 항체를 도입하면 문제는 Σ₂-완전으로 격상되며, 이는 증거가 전혀 존재하지 않을 수도 있음을 시사한다. 즉, 단 하나의 항체가 존재하더라도 해의 존재성이 보장되지 않는다.

ABSTRACT

We analyze the computational complexity of the many types of pencil-and-paper-style puzzles featured in the 2016 puzzle video game The Witness. In all puzzles, the goal is to draw a path in a rectangular grid graph from a start vertex to a destination vertex. The different puzzle types place different constraints on the path: preventing some edges from being visited (broken edges); forcing some edges or vertices to be visited (hexagons); forcing some cells to have certain numbers of incident path edges (triangles); or forcing the regions formed by the path to be partially monochromatic (squares), have exactly two special cells (stars), or be singly covered by given shapes (polyominoes) and/or negatively counting shapes (antipolyominoes). We show that any one of these clue types (except the first) is enough to make path finding NP-complete ("witnesses exist but are hard to find"), even for rectangular boards. Furthermore, we show that a final clue type (antibody), which necessarily "cancels" the effect of another clue in the same region, makes path finding Sigma_2-complete ("witnesses do not exist"), even with a single antibody (combined with many anti/polyominoes), and the problem gets no harder with many antibodies.

연구 동기 및 목표

• The Witness의 모든 단일 패널 퍼즐 유형의 계산 복잡도를 체계적으로 분석하기 위해.
• 각 퍼즐 유형에 대해 유효한 해 경로(증거)가 존재하는지 여부와 이를 효율적으로 찾을 수 있는지 여부를 판단하기 위해.
• 특히 항체를 포함한 새로운 클루의 존재가 해의 존재성과 복잡도에 미치는 영향을 탐색하기 위해.
• 모노미노 클루나 경계 육각형과 같은 경우에서 다항 시간 알고리즘이 존재하는지를 식별하기 위해.
• 경로와 영역 분할을 표현하는 데의 표현 능력에 따라 퍼즐 유형을 분류하기 위해.

제안 방법

• 다양한 퍼즐 유형—육각형, 삼각형, 정사각형, 별, 폴리오미노—에 대해 NP-완전성을 입증하기 위한 감소 기반 증명.
• 기존의 NP-완전 문제인 정확한 커버와 3-파트리션 문제를 시뮬레이션하는 퍼즐 인스턴스의 구성.
• 평면 그래프 임bedding과 경계 종단 조건을 활용하여 부분 해밀턴 경로 문제를 다항 시간으로 감소시키기.
• 기타 클루의 영향을 취소하는 '항체' 클루의 도입으로 존재적 및 전칭 기호의 교차를 통해 Σ₂-완전성 도출.
• 모노미노 및 반모노미노 퍼즐을 경계 육각형 문제로 감소시켜 다항 시간 해법 가능성을 확보.
• 서로 분리된 구성 요소와 연결 조건을 갖춘 구성 퍼즐을 사용하여 특정 경로와 영역 분할을 강제하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단지 정점 육각형만을 사용하는 The Witness 퍼즐의 경로 탐색 문제는 다항 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ2 고정된 수의 별 색상만을 사용할 경우 문제는 NP-난이도인가?
• RQ3 The Witness의 빛 다리 메타퍼즐의 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 특정 해 구조를 갖는 퍼즐을 설계하는 문제(퍼즐 설계 문제)는 효율적으로 해결 가능한가?
• RQ5 폴리오미노 클루는 1영역-일반성인가? 즉, 어떤 원하는 영역 분할도 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 깨진 모서리(이들은 자명함)를 제외한 모든 퍼즐 유형은 직사각형 격자에서도 NP-완전하다.
• 항체가 존재하면 문제는 Σ₂-완전해지며, 이는 해의 존재성이 보장되지 않으며 NP보다 계산적으로 더 어려운 문제임을 시사한다.
• 모노미노 클루는 경계 육각형 문제로 감소시켜 다항 시간 내에 해결할 수 있다.
• 폴리오미노 및 반폴리오미노 클루는 모노미노나 도미노로 제한된 경우에도 여전히 NP-완전하다.
• 단 하나의 항체가 존재하더라도 문제는 여전히 Σ₂-완전하며, 더 많은 항체를 추가해도 복잡도가 증가하지 않는다.
• 퍼즐 설계 문제의 복잡도는 아직 미해결 상태이지만, 어려울 것으로 예상된다.