[논문 리뷰] Why does bulk boundary correspondence fail in some non-hermitian topological models

Ye Xiong|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 17.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비헤르미트형(topological) 모델에서 경계 조건을 주기적 경계에서 개방 경계로 전환할 때 발생하는 특이점(EPs)으로 인해 전체-경계 상응관계가 실패함을 보여준다. 경계가 도입됨에 따라 스펙트럼의 위상적 구조가 근본적으로 변화하며, 이로 인해 봉우리에서 정의된 분수형 위상수(winding number)가 영에너지 경계 상태(ZEBS)를 예측할 수 없게 된다. ZEBS는 위상적 보호에 의해 발생하는 것이 아니라, 경계 근처의 특이점(EPs)에 의해 발생한다.

ABSTRACT

Bulk boundary correspondence is crucial to topological insulator as it associates the boundary states (with zero energy, chiral or helical) to topological numbers defined in bulk. The application of this correspondence needs a prerequisite condition which is usually not mentioned explicitly: the boundaries themselves cannot alter the bulk states, so as to the topological numbers defined on them. In non-hermitian models with fractional winding number, we prove that such precondition fails and the bulk boundary correspondence is cut out. We show that, as eliminating the hopping between the boundaries to simulate the evolution of a system from the periodic boundary condition to the open boundary condition, exceptional points must be passed through and the topological structure of the spectrum has been changed. This makes the topological structures of a chain with open boundary totally different from that without the boundary. We also argue that such exotic behavior does not emerge when the open boundary is replaced by a domain-wall. So the index theorem can be applied to the systems with domain-walls but cannot be further used to those with open boundary.

연구 동기 및 목표

• 분수형 위상수를 가진 비헤르미트형(topological) 시스템에서 전체-경계 상응관계가 왜 붕괴되는지 조사한다.
• 주기적 경계 조건에서 개방 경계 조건으로 전이할 동안 위상적 구조를 변화시키는 특이점(EPs)의 역할을 규명한다.
• 개방 경계 조건 시스템에서의 영에너지 경계 상태(ZEBS)가 위상적으로 보호되지 않고, 오히려 경계 근처의 특이점(EPs)에 의해 발생함을 명확히 한다.
• 도메인-벽 시스템에서 사용된 지수정리(index theorem)가 비헤르미트형 모델의 개방 경계 조건에 대해 확장될 수 없음을 보여주며, 이는 EPs에 의해 스펙트럼이 변화하기 때문이다.
• 개방 경계 조건을 가진 비헤르미트형 사슬의 스펙트럼을 정확히 분석하기 위한 프레임워크를 제공하며, OBC 시스템의 개별적 분석의 필요성을 강조한다.

제안 방법

• 2×2 조르당 블록 해밀토니언을 가진 1D 비헤르미트형 토이 모델을 분석하여 매개변수 변화에 따른 EP 행동을 설명한다.
• 운동량 공간과 실공간 표현을 사용하여 두 종류의 EPs를 구분한다: 하나는 매개변수 공간(r₀, k)에서의 EP이고, 다른 하나는 경계 힘의 매개변수(r, φ)에서의 EP이다.
• 사슬 양끝 사이의 힘 r을 줄이며 경계를 도입함에 따라 고유값 스펙트럼의 변화를 추적하며, 고유값 추적에서 고리 분열을 통해 위상적 변화를 보여준다.
• Leykam 등(2017)의 지수정리를 도메인-벽 시스템에 적용하고, EP에서 해밀토니언이 불완전해지므로 개방 경계 조건에서는 실패함을 보여준다.
• 표준 LAPACK 루틴(zgeev 등)이 실패하는 EP 근처에서 수치 계산을 안정화하기 위해 표준 루틴 대신 이중수 orthogonal Gram-Schmidt 과정을 사용한다.
• 수치 계산을 통해, 조건부로 국소적인 현위치 에너지 편향에 의해 EP가 제거되면, 봉우리 위상수가 정의되지 않더라도 ZEBS가 사라짐을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 분수형 위상수를 가진 비헤르미트형 시스템에서 전체-경계 상응관계가 실패하는가?
• RQ2 특이점(EPs)은 주기적 경계 조건에서 개방 경계 조건으로 전이할 동안 스펙트럼 위상 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 개방 경계 조건을 가진 비헤르미트형 사슬에서의 영에너지 경계 상태(ZEBS)는 위상적으로 보호되는가, 아니면 EPs에 의해 발생하는가?
• RQ4 왜 도메인-벽 시스템에서 사용된 지수정리는 비헤르미트형 모델의 개방 경계 조건에 적용되지 않는가?
• RQ5 경계가 시스템의 위상적 구조를 변화시킬 경우, 봉우리에서 정의된 분수형 위상수가 경계 상태를 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 주기적 경계 조건에서 개방 경계 조건으로 전이할 때 시스템은 반드시 특이점(EPs)을 통과하게 되며, 이로 인해 스펙트럼의 위상적 구조가 근본적으로 변화한다.
• 스펙트럼 위상 구조는 단일 고리에서 다중 고리(예: 더 작은 고리로 분열)로 변화하며, 이는 개방 경계 조건에서는 봉우리 위상수가 적용될 수 없음을 의미한다.
• 개방 경계 조건 시스템에서의 영에너지 경계 상태(ZEBS)는 캐럴리티 대칭이나 봉우리 위상수에 의해 보호되지 않고, 오히려 경계 근처 또는 경계에 존재하는 EPs에 의해 발생한다.
• 수치적 증거에 따르면, EP가 국소적인 현위치 에너지 편향에 의해 제거되면, 봉우리 위상수가 정의되지 않더라도 ZEBS가 사라진다.
• 도메인-벽 시스템에서 사용된 지수정리는 개방 경계 조건에서는 실패한다. 왜냐하면 EP에서 해밀토니언이 불완전해지기 때문에 H와 H†H의 스펙트럼 간 일대일 대응이 깨지기 때문이다.
• 표준 수치 루틴(zgeev 등)은 EP 근처에서 실패한다. 장기간의 사슬에서 안정적인 스펙트럼 계산을 위해서는 이중수 orthogonal Gram-Schmidt 과정이 필요하다.