[논문 리뷰] Why the 1-Wasserstein distance is the area between the two marginal CDFs

Marco de Angelis, Ander Gray|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 05.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 2인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 단변량 확률분포 사이의 1-워샤르스타인 거리가 그 누적분포함수(CDF) 사이의 면적과 동일하다는 것을 증명한다. 이는 워샤르스타인 거리의 최적 쌍화가 $M$ 코퓰라(완전한 양의 상관관계)를 통해 달성되며, 이로 인해 거리가 분위수 함수의 절대차이의 적분으로 감소함을 보여, 기하학적으로 CDF 사이의 면적에 해당됨을 보여준다.

ABSTRACT

We elucidate why the 1-Wasserstein distance $W_1$ coincides with the area between the two marginal cumulative distribution functions (CDFs). We first describe the Wasserstein distance in terms of copulas, and then show that $W_1$ with the Euclidean distance is attained with the $M$ copula. Two random variables whose dependence is given by the $M$ copula manifest perfect (positive) dependence. If we express the random variables in terms of their CDFs, it is intuitive to see that the distance between two such random variables coincides with the area between the two CDFs.

연구 동기 및 목표

• 두 단변량 분포 사이의 1-워샤르스타인 거리가 왜 그들의 CDF 사이의 면적과 동일한지 설명하기.
• 코퓰라를 사용하여 워샤르스타인 거리를 형식화하고, $M$ 코퓰라가 하한값을 달성함을 보여주기.
• 완전한 양의 상관관계(즉, $M$ 코퓰라를 통한)가 1-워샤르스타인 거리에서 최소 운반 비용을 제공함을 보여주기.
• 스토크래틱 도미넌스와 겹치지 않는 지지집합 조건 하에서 $W_1$에 대한 해석적 표현 제공하기.

제안 방법

• 스칼라의 정리에 따라 코퓰라를 사용하여 1-워샤르스타인 거리를 표현하고, 이를 $W_1(X,Y) = \int_{[0,1]^2} |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(v)| \, dC(u,v)$ 로 재기록하기.
• 모든 코퓰라 $C$에 대한 하한값이 $M$ 코퓰라에서 달성됨을 증명하며, 이는 $M(u,v) = \min\{u,v\}$ 로 정의되며 완전한 양의 상관관계를 유도함을 보여주기.
• 다음과 같은 등가 표현을 유도함: $W_1$은 $\int_{[0,1]} |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(u)| \, du$ 로 표현되며, 이는 분위수 함수의 역함수 그래프 사이의 면적과 동일함을 보여줌.
• 모서리 CDF의 표현을 사용하여 $\mathbb{E}|X-Y|$ 를 다른 방식으로 표현: $\int_{-\infty}^{\infty} \left(F_X(t) + F_Y(t) - 2C(F_X(t), F_Y(t)) \right) dt$, 그리고 $C = M$ 이 이 표현을 최소화함을 보여주기.
• 스토크래틱 도미넌스 조건($F_X^{-1}(u) > F_Y^{-1}(u)$ for all $u$) 하에서 $W_1(X,Y) = \mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]$ 임을 증명하기.
• 비교적 지지집합이 겹치지 않는 랜덤 변수에 대해 $W_1(X,Y)$ 가 기대값의 절대차이와 동일하며, 이는 의존성의 구조와 무관함을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 두 단변량 분포 사이의 1-워샤르스타인 거리가 그들의 CDF 사이의 면적과 동일한가?
• RQ2 어떤 코퓰라 구조가 1-워샤르스타인 거리를 최소화하는가? 그리고 왜 이는 완전한 양의 상관관계에 해당하는가?
• RQ3 분위수 함수와 코퓰라를 사용할 때 워샤르스타인 거리가 기하학적 면적으로 어떻게 변환되는가?
• RQ4 어떤 조건에서 $W_1(X,Y)$ 가 기대값의 차이로 단순화되는가?
• RQ5 1-워샤르스타인 거리에서 최소 운반 비용을 달성하기 위해 $M$ 코퓰라가 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 1-워샤르스타인 거리 $W_1(X,Y)$ 는 최적의 쌍화가 $M$ 코퓰라에 의해 이루어지기 때문에 $X$와 $Y$의 CDF 사이의 면적과 동일하다.
• 1-워샤르스타인 거리의 최적 쌍화는 $M$ 코퓰라로 주어지며, 이는 확률분포변환에서 $u = v$ 를 강제함으로써 $W_1(X,Y) = \int_0^1 |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(u)| \, du$ 를 유도한다.
• 스토크래틱 도미넌스 조건($X \succ Y$) 하에서 1-워샤르스타인 거리는 $\mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]$ 로 단순화된다.
• 지지집합이 겹치지 않는 랜덤 변수에 대해 $W_1(X,Y)$ 는 $|\mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]|$ 와 동일하며, 이는 의존성의 구조와 무관하다.
• $M$ 코퓰라가 적분의 피적분함수 $F_X(t) + F_Y(t) - 2C(F_X(t), F_Y(t))$ 를 최소화함으로써 워샤르스타인 거리를 최소화함을 증명하였다.
• $W_1$의 면적 해석은 기하학적으로 직관적이다: 완전한 의존성에 의해 쌍화된 경우, 이는 분위수 함수의 역함수 그래프 사이의 면적에 해당한다.