[논문 리뷰] Why walking the dog takes time: Frechet distance has no strongly subquadratic algorithms unless SETH fails

Karl Bringmann|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 05.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 30인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 다각형 곡선 사이의 프리셰트 거리(Fréchet distance)를 계산하는 것이 강한 하위제곱 시간(strongly subquadratic time)으로 수행될 수 없음을 증명한다. 즉, 어떤 δ > 0에 대해서도 O(n²⁻δ) 시간으로는 수행될 수 없으며, 이는 강력한 지수시간 가설(Strong Exponential Time Hypothesis, SETH)이 실패할 경우에만 가능하다. 이 결과는 연속적이고 이산적인 프리셰트 거리 모두에 적용되며, SETH에 기반한 날카로운 조건부 하한(lower bound)를 확립하여, 기존의 O(n²) 알고리즘들이 로그 인자까지는 최적임을 시사한다.

ABSTRACT

The Frechet distance is a well-studied and very popular measure of similarity of two curves. Many variants and extensions have been studied since Alt and Godau introduced this measure to computational geometry in 1991. Their original algorithm to compute the Frechet distance of two polygonal curves with n vertices has a runtime of O(n^2 log n). More than 20 years later, the state of the art algorithms for most variants still take time more than O(n^2 / log n), but no matching lower bounds are known, not even under reasonable complexity theoretic assumptions. To obtain a conditional lower bound, in this paper we assume the Strong Exponential Time Hypothesis or, more precisely, that there is no O*((2-delta)^N) algorithm for CNF-SAT for any delta > 0. Under this assumption we show that the Frechet distance cannot be computed in strongly subquadratic time, i.e., in time O(n^{2-delta}) for any delta > 0. This means that finding faster algorithms for the Frechet distance is as hard as finding faster CNF-SAT algorithms, and the existence of a strongly subquadratic algorithm can be considered unlikely. Our result holds for both the continuous and the discrete Frechet distance. We extend the main result in various directions. Based on the same assumption we (1) show non-existence of a strongly subquadratic 1.001-approximation, (2) present tight lower bounds in case the numbers of vertices of the two curves are imbalanced, and (3) examine realistic input assumptions (c-packed curves).

연구 동기 및 목표

• 강력한 지수시간 가설(Strong Exponential Time Hypothesis, SETH) 하에서 프리셰트 거리 계산에 대한 조건부 하한을 확립하기 위해.
• 가장 잘 알려진 알고리즘들(O(n²))과 어떠한 하위제곱 알고리즘도 알려져 있지 않은 상황 간의 격차를 메우기 위해.
• 근사 알고리즘과 c-packed 곡선과 같은 현실적인 입력 모델에 대한 하한을 확장하기 위해.
• 넓게 받아들여진 복잡도 가정 하에 프리셰트 거리에 대한 더 빠른 알고리즘이 가능한지 조사하기 위해.

제안 방법

• CNF-SAT 문제에서 프리셰트 거리 문제로의 환원(reduction)을 수행하며, 이는 어떤 δ > 0에 대해서도 CNF-SAT에 대해 O*((2−δ)^N) 알고리즘이 존재하지 않는다는 가정을 전제로 한다.
• CNF-SAT 인스턴스를 시뮬레이션할 수 있도록 특정 기하학적 및 조합적 성질을 가진 두 개의 다각형 곡선을 구성한다.
• 정확성과 환원의 날카로움을 보장하기 위해 ε, N, M 및 곡선의 복잡도를 포함한 철저히 설계된 매개변수화를 사용한다.
• 구성된 곡선 간의 프리셰트 거리가 작아지는 것과 주어진 CNF 공식이 만족 가능할 조건이 정확히 일치함을 분석하여, 이를 증명한다.
• 근사 알고리즘을 다루기 위해 1.001-근사(variant)를 도입하여 환원을 확장한다.
• c-packed 곡선에 대한 구성의 적응을 통해 곡선 복잡도가 유한한 현실적인 입력 시나리오를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SETH 하에서 두 다각형 곡선 사이의 프리셰트 거리를 계산하는 강한 하위제곱 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 프리셰트 거리에 대해 1.001-근사가 강한 하위제곱 시간 내에서 계산될 수 있는가?
• RQ3 두 곡선의 정점 수가 극도로 비균형적일 경우, 프리셰트 거리에 대한 조건부 하한은 어떻게 되는가?
• RQ4 c-packed 곡선에 대해 (1+ε)-근사가 Õ(cn) 시간 내에 수행되는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 이 하한은 고차원 곡선이나 프리셰트 거리의 다른 변형으로까지 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 강력한 지수시간 가설(SETH)이 실패하지 않는 한, 프리셰트 거리는 어떤 δ > 0에 대해서도 O(n²⁻δ) 시간 내에 계산될 수 없다.
• SETH 하에서 연속적 및 이산적 프리셰트 거리 모두에 대해 Ω(n²)의 조건부 하한이 성립한다.
• SETH가 실패하지 않는 한, 프리셰트 거리에 대해 강한 하위제곱 1.001-근사 알고리즘은 존재하지 않는다.
• 정점 수가 비균형적인 곡선의 경우, 하한은 더 작은 곡선의 크기에 의존하며, SETH 하에서 O(n²⁻δ)보다 빠른 알고리즘은 존재하지 않는다.
• c-packed 곡선의 경우, 하한은 심지어 (1+ε)-근사가 Õ(cn) 시간 내에 수행되는 것도 SETH가 실패하지 않는 한 불가능하다는 것을 암시한다.
• 결과는 기존 알고리즘들이 다항로그 인자까지는 최적임을 보여주며, 이는 SETH 하에서 현재 알고리즘이 최적임을 시사한다.