[논문 리뷰] Wieferich Primes and a mod $p$ Leopoldt Conjecture

Gebhard Boeckle, David-A. Guiraud외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고전적 Leopoldt 추측의 mod $p$ 버전을 제안하며, 거의 모든 소수 $p$에 대해 $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$인지 여쭙는다. 이는 호환 체계에서 유래하는 mod $p$ Galois 표현의 비차단된 변형 이론을 암시할 것이다. 저자들은 Wieferich 소수와의 유사성을 제시하고, $\mathbb{Q}$, 허수 제곱근이 있는 수체, 그리고 특정 모듈라 형식에 대해 추측을 지지하는 계산적 증거를 제공한다.

ABSTRACT

We consider questions in Galois cohomology which arise by considering mod $p$ Galois representations arising from automorphic forms. We consider a Galois cohomological analog for the standard heuristics about the distribution of Wieferich primes, i.e. prime $p$ such that $2^{p-1}$ is 1 mod $p^2$. Our analog relates to asking if in a compatible system of Galois representations, for almost all primes $p$, the residual mod $p$ representation arising from it has unobstructed deformation theory. This analog leads in particular to formulating a mod $p$ analog for almost all primes $p$ of the classical Leopoldt conjecture, which has been considered previously by G. Gras. Leopoldt conjectured that for a number field $F$, and a prime $p$, the $p$-adic regulator $R_{F,p}$ is non-zero. The mod $p$ analog is that for a fixed number field $F$, for almost all primes $p$, the $p$-adic regulator $R_{F,p}$ is a unit at $p$.

연구 동기 및 목표

• 고전적 Leopoldt 추측의 mod $p$ 버전을 제안하며, 거의 모든 소수 $p$에 대해 $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$임을 예측한다.
• 이 추측과 Wieferich 소수의 분포 사이의 관계를 밝혀내며, Galois 코hom올로지를 프레임워크로 사용한다.
• 모듈라 형식과 Artin 표현의 맥락에서, 호환 체계에서 유래하는 mod $p$ Galois 표현의 변형 이론이 거의 모든 $p$에 대해 비차단되는지 조사한다.
• 특정 케이스, 즉 무게 2 모듈라 형식과 $S_3$-표현에서 추측을 지지하는 계산적 증거를 제공한다.
• 특히 $p$-adic 승수의 모듈라 형식에 대한 mod $p$ 코hom올로지에서의 수준 상승과 Selmer 군 차원을 개선한 히وري스틱을 정교화한다.

제안 방법

• Galois 코호몰로지를 사용하여 mod $p$ Galois 표현의 변형에 대한 차단을 분석하며, $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$를 전역적 차단의 척도로 삼는다.
• 모듈라 형식에서 유래하는 호환 체계의 Galois 표현에 대해 변형 이론과 차원 추측(Mazur)을 적용한다.
• 계산 방법을 사용하여 $p=3,5,7,11$에 대해 소수 $q \neq p$에서의 $S_2(\Gamma_0(Nq))$의 $q$-new 부분공간과 그 Selmer 군을 연구한다.
• 소수 $q \neq p$에서의 수준 상승 현상은 $q \mod p$와 $\overline{\rho}(\operatorname{Frob}_q)$의 Frobenius 작용에 따라 경우를 나누어 분석한다.
• 전역적 오일러-포이아르스의 특성 공식을 적용하여 코호몰로지의 소멸과 $p$-아벨 프로-$p$ 확장의 Galois 군 차원 사이의 관계를 규명한다.
• 클래스 체계 이론과 모듈라 형식의 결과를 활용하여 $q$-new 부분공간의 차원을 계산하고, 정교화된 히وري스틱(예: Ramakrishna의 $\dim S_2^{q\textrm{-new}}$ 예측)에 의해 예측된 밀도와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 幾乎 모든 소수 $p$에 대해 $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$인지, 즉 Leopoldt 추측의 mod $p$ 버전인지 여쭙는다?
• RQ2 Wieferich 소수의 분포는 호환 체계에서 mod $p$ Galois 표현의 비차단된 변형과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 소수 $q \neq p$에 대해 $S_2(\Gamma_0(Nq))$의 $q$-new 부분공간의 기대 차원은 얼마이며, 이는 이론적 예측과 어떻게 일치하는가?
• RQ4 수준 상승이 $q \neq p$에서 일어날 경우, 언제 $q$-new Selmer 군이 1차원이 되며, 이러한 경우는 얼마나 자주 발생하는가?
• RQ5 Ramakrishna와 같은 정교화된 히وري스틱은 $\dim S_2^{q\textrm{-new}} = i$ (단, $i \geq 1$)의 빈도를 예측할 수 있는가?

주요 결과

• $F = \mathbb{Q}$일 때, 모든 $p > 2$에 대해 $H^2(G_{\mathbb{Q},S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$이며, $p=2$일 때는 $\dim H^1 = 1$이므로 mod $p$ Leopoldt 추측이 성립함을 확인하여 지지한다.
• 허수 제곱근이 있는 수체의 경우, 무한 순서의 단위가 존재하지 않아 고전적 Leopoldt 추측을 방해하는 요소가 없기 때문에 추측이 성립한다.
• $p=3$의 계산 데이터에서 $\dim S_2^{q\textrm{-new}}$의 분포는 Ramakrishna의 예측 밀도와 매우 유사하다: 차원 1은 0.66, 차원 2는 0.22이며, 높은 차원일수록 감소한다.
• $p=3$일 때, 56개의 소수 $q$가 케이스 iii에 속했으며(즉, $\dim S_2^{q\textrm{-new}} \geq 4$), 하한 4가 가장 자주 달성되어 높은 차원의 $q$-new 부분공간의 비정상적인 분포를 시사한다.
• 케이스 iv(즉, $\dim S_2^{q\textrm{-new}} \geq 4$ 이면서 $q \equiv -1 \pmod{p}$)는 매우 드물게 발생했다: $p=11$의 경우 계산 범위 내에서 해당 $q$가 발견되지 않았으며, 가장 작은 후보는 $q = 109297$였고, 이는 강한 억제 현상을 시사한다.
• $S_3$-표현의 경우, $q \equiv -1 \pmod{p}$ 이면서 Frobenius의 특정 국소 조건이 만족될 때 $q$-new Selmer 군은 1차원이 되며, 히وري스틱에 따르면 이는 밀도 $1/p$로 발생할 것으로 예상되며, 데이터와 일치한다.