[논문 리뷰] Wiener Index and Remoteness in Triangulations and Quadrangulations

Éva Czabarka, Peter Dankelmann외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

Graph theory and applications참고 문헌 35인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 κ-연결 단순 삼각분할 및 사각분할에서 위너 지수와 원거리도의 渐近 상한을 확립하며, 삼각분할의 경우 $3 \leq \kappa \leq 5$ 에서 위너 지수는 $\frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ 이하임을 증명한다. 사각분할의 경우 $2 \leq \kappa \leq 3$ 이다. 이 상한을 만족하는 명시적 그래프 가족을 구성하였고, 이들이 최대 위너 지수를 달성한다고 추측하며, 5-연결 삼각분할의 경우 최대 32차까지, 4-연결의 경우 최대 22차까지 광범위한 계산적 검증을 수행하였다.

ABSTRACT

Let $G$ be a a connected graph. The Wiener index of a connected graph is the sum of the distances between all unordered pairs of vertices. We provide asymptotic formulae for the maximum Wiener index of simple triangulations and quadrangulations with given connectivity, as the order increases, and make conjectures for the extremal triangulations and quadrangulations based on computational evidence. If $\overline{\sigma}(v)$ denotes the arithmetic mean of the distances from $v$ to all other vertices of $G$, then the remoteness of $G$ is defined as the largest value of $\overline{\sigma}(v)$ over all vertices $v$ of $G$. We give sharp upper bounds on the remoteness of simple triangulations and quadrangulations of given order and connectivity.

연구 동기 및 목표

• 정점 수 n 이 증가함에 따라 κ-연결 단순 삼각분할 및 사각분할의 최대 가능한 위너 지수를 결정하기 위해.
• n 과 연결성 κ 에 따라 위너 지수의 날카로운 渐近 상한을 확립하기 위해.
• 유도된 상한과 일치하는 명시적 삼각분할 및 사각분할의 구성법을 제안하고 분석하기 위해.
• 계산적 증거에 기반하여 이러한 구성이 최극적 위너 지수와 원거리도를 실현한다고 추측하기 위해.
• 평면적이고 고도로 연결된 그래프에서 원거리도와 위너 지수를 최대화하는 그래프의 구조를 조사하기 위해.

제안 방법

• 정점 간격 분포 및 이웃 성장과 같은 그래프 이론적 및 조합 기법을 사용하여 위너 지수의 渐近 상한을 유도하기 위해.
• n 이 κ 로 나누었을 때의 잔여류에 기반한 특정 κ-연결 삼각분할 및 사각분할의 가족을 구성하고, 그들의 위너 지수에 대한 폐쇄형 표현식을 제공하기 위해.
• 연결성과 평면 그래프의 구조적 제약을 분석하기 위해 (w,A)-팬 개념과 간선 압축을 사용하기 위해.
• 작은 차수의 그래프(최대 n=32)에 대한 위너 지수와 원거리도를 계산하여 추측을 검증하고 최극적 구조를 식별하기 위해.
• 정점의 원거리도와 평균 거리(σ(v))를 분석하여 그래프의 원거리도를 최대 σ(v) 값으로 정의하고 경계를 설정하기 위해.
• 오일러의 공식과 간선 수 제약 조건을 포함한 평면 그래프, 삼각분할, 사각분할에 관한 기존 결과를 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3 ≤ κ ≤ 5 인 κ-연결 단순 삼각분할의 경우, 정점 수 n 에 대해 위너 지수의 渐近 최대값은 무엇인가요?
• RQ2 위너 지수에 대한 상한 $\frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ 이 κ-연결 삼각분할에서 渐近적으로 달성될 수 있나요?
• RQ3 κ-연결 단순 삼각분할 및 사각분할에서 최대 원거리도는 무엇이며, 어떤 그래프가 이를 달성합니까?
• RQ4 n mod κ 를 기반으로 한 제안된 삼각분할 및 사각분할의 구성이 최극적 위너 지수와 원거리도를 실현합니까?
• RQ5 충분히 큰 n 에 대해 κ-연결 삼각분할 및 사각분할에서 최대 위너 지수는 유일하게 실현됩니까?

주요 결과

• 모든 κ-연결 단순 삼각분할의 위너 지수는 $3 \leq \kappa \leq 5$ 에서 $\frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ 이하로 渐近적으로 상한이 존재한다.
• 4-연결 단순 삼각분할의 경우, 구성된 가족은 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 일 때 위너 지수 $\frac{n^3}{24} + \frac{n^2}{4} + \frac{n}{3} - 2$ 를 달성하며, 이는 渐近 상한과 일치하고 κ=4 에서 상한이 날카로운 것을 증명한다.
• 5-연결 단순 삼각분할의 경우, 구성된 가족은 $n \equiv r \pmod{5}$, $r \in \{0,1,2,3,4\}$ 일 때 위너 지수 $\frac{n^3}{30} + \frac{3n^2}{10} - \frac{23n}{15} + c$ 를 달성하며, 이는 κ=5 에서 渐近 상한이 날카로운 것을 증명한다.
• 원거리도는 구성된 가족 내 특정 정점에서 최대화되며, 이러한 그래프들이 위너 지수를 최대화한다고 추측된다.
• 계산적 검증을 통해 4-연결 삼각분할의 경우 최대 22차까지, 5-연결 삼각분할의 경우 최대 32차까지 추측된 최극적 그래프가 확인되었다.
• 사각분할의 경우, 최대 위너 지수와 원거리도는 충분히 큰 n 에 대해 유일하게 실현된다고 추측되며, n mod 2 를 기반으로 한 구성이 κ=2 에서 $\frac{1}{6\kappa}n^3 + O(n^{5/2})$ 를 달성한다.