[논문 리뷰] WIGNER FUNCTIONS AND STOCHASTICALLY PERTURBED LATTICE DYNAMICS

Giada Basile, Stefano Olla외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 05. 20.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 소규모 확률적 교란이 있는 격자 역학에 Wigner 함수의 새로운 응용을 제안하며, 반고전 근사 한계에서 Wigner 함수가 비탄성 충돌을 고려한 선형 운반 방정식에 따라 진화함을 보여준다. 핵심 결과는 평형 상태에서 에너지 전류 상관관계가 1/√t 속도로 감쇠된다는 예측으로, 이는 이전의 다른 방법으로 구한 결과와 일치한다.

ABSTRACT

We consider lattice dynamics with a small stochastic perturbation of order and prove that for a space-time scale of order 1 the Wigner function evolves according to a linear transport equation describing inelastic collisions. For an energy and momentum conserving chain the transport equation predicts a slow decay, as 1/ √ t, for the energy current correlation in equilibrium. This is in agreement with previous studies using a different method. Wigner functions are a very convenient and versatile tool in the analysis of wave equations. For multi-component linear wave equations the semiclassical part of the solution is covered by the time evolved Wigner function, see (9) with refinements in (5). If the coefficients of the wave equation areweakly random, then in the semiclassical limit the Wigner function is governed by a transport equation, which accounts for the finite life-time of the modes. We refer to the very informative survey (11) and to (1), (8) for two completely worked out benchmarks. A similar, but more involved scheme works for weakly nonlinear wave equations, see (13, 12). In our contribution we develop a novel application for Wigner functions. Rather than stochastically perturbing the coefficients of the wave e we add sto- chastic terms to the equation. They can be written down most easily for a discrete wave equation (lattice dynamics) which is the only case considered here. As a Hamiltonian system the lattice dynamics conserves energy and, depending on the couplings, also momentum. The basic idea is to have the added stochastic terms respect locally such conservation laws. In the context of interacting mechanical particles related models have been studied, e.g., in (10). But in the context of wave equations such an approach is very recent (4, 2, 3). To have a closed equation for the evolution of the Wigner function the stochas- tic part of the generator has to be of order e with e the semiclassical parameter, 0 < e ≪ 1. We will prove that in the limit e → 0 the Wigner function is gov- erned by a linear transport equation. In the cases mentioned above the collision operator of the transport equation describes elastic collisions, while in our case the collisions are inelastic with energy conserved only on average. The Wigner function evolution is very efficient for the understanding of the long-time properties of the stochastic wave dynamics. We will provide only one

연구 동기 및 목표

• 랜덤 계수를 초월해 파동 방정식에 대한 Wigner 함수의 사용을 확장하기 위해.
• 지역적 보존 법칙을 따르는 소규모 확률적 노이즈가 작용하는 격자 역학의 장기적 거동을 분석하기 위해.
• 반고전 근사 한계(ε → 0)에서 Wigner 함수에 대한 닫힌 운반 방정식을 유도하기 위해.
• 유도된 운반 방정식에서 충돌의 성격을 비탄성으로 특성화하며, 에너지가 평균적으로만 보존됨을 밝히기 위해.
• 확률적 파동 시스템에서 에너지 수송과 상관관계 감쇠를 이해하기 위한 새로운 분석적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 파동 방정식에 직접 소규모 확률적 교란을 추가하여 격자 역학을 해밀토니안 시스템으로 모델링하기 위해.
• 확률적 항목이 에너지와 운동량의 국소적 보존을 따르도록 보장하여, 파동 시스템에서 물리적 일관성을 반영하기 위해.
• 반고전 매개수 ε ≪ 1을 사용해 생성자에서의 확률적 부분을 스케일링하여 엄밀한 극한을 가능하게 하기 위해.
• ε → 0 근사에서 Wigner 함수의 진화 방정식을 유도하여, 선형 운반 방정식로 수렴하는 것을 보여주기 위해.
• 운반 방정식의 충돌 연산자를 분석하여, 평균적으로 에너지가 보존되는 비탄성 충돌을 기술함을 밝히기 위해.
• Wigner 함수 형식을 적용하여 장기적 상관관계 성질, 특히 에너지 전류 상관관계를 추출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 역학에 소규모 확률적 노이즈를 추가하면, 파동 모드의 장기적 진화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 랜덤 계수 외에 보존 법칙을 따르는 확률적 파동 방정식으로도 Wigner 함수 형식을 확장할 수 있는가?
• RQ3 확률적 교란 하에서 Wigner 함수의 운반 방정식에 나타나는 충돌 연산자는 어떤 유형인가?
• RQ4 유도된 운반 방정식은 평형 상태에서 에너지 전류 상관관계에 대해 특정 감쇠율을 예측하는가?
• RQ5 확률적 교란은 반고전 근사 한계에서 파동 모드의 효과적 수명과 산란에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 반고전 근사 한계(ε → 0)에서 Wigner 함수는 비탄성 충돌을 고려한 선형 운반 방정식에 따라 진화한다.
• 운반 방정식의 충돌 연산자는 평균적으로만 에너지가 보존되는 비탄성 과정를 기술한다.
• 에너지와 운동량을 보존하는 사슬의 경우, 모델은 평형 상태에서 에너지 전류 상관관계 함수가 1/√t 속도로 감쇠됨을 예측한다.
• 이 1/√t 감쇠율은 이전에 다른 분석적 방법으로 확보된 결과와 일치하며, Wigner 함수 접근법의 타당성을 검증한다.
• Wigner 함수는 확률적 교란을 받는 파동 시스템의 장기적 성질을 분석하는 데 효율적이고 유연한 도구이다.
• 이 방법은 파동 모드의 유한한 수명과 산란 행동을 포함한, 확률적 노이즈 하에서의 효과적 역학을 성공적으로 포착한다.