[논문 리뷰] Wilf classification of triples of 4-letter patterns

David Callan, Toufik Mansour외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 16.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 counting sequence의 첫 16항에서의 일치가 동일성을 의미함을 증명함으로써, 4-letter 순열 패턴 삼중체의 242개 Wilf 클래스를 분류한다. 이를 통해 정확한 Wilf 등가성을 확립한다. 또한 조합적 분해, 커널 방법, 삽입 인코딩, 이분형을 사용하여 이전에 세어지지 않은 36개 삼중체의 생성함수를 계산하였으며, 이는 모두 대수적 생성함수임을 확인하였다. 이는 패턴 회피 수세기 분야에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We determine all 242 Wilf classes of triples of 4-letter patterns by showing that there are 32 non-singleton Wilf classes. There are 317 symmetry classes of triples of 4-letter patterns and after computer calculation of initial terms, the problem reduces to showing that counting sequences that appear to be the same (agree in the first 16 terms) are in fact identical. The insertion encoding algorithm (INSENC) accounts for many of these and some others have been previously counted; in this paper, we find the generating function for each of the remaining 36 triples and it turns out to be algebraic in every case. Our methods are both combinatorial and analytic, including decompositions by left-right maxima and by initial letters. Sometimes this leads to an algebraic equation for the generating function, sometimes to a functional equation or a multi-index recurrence that succumbs to the kernel method. A particularly nice so-called cell decomposition is used in one case and a bijection is used for another.

연구 동기 및 목표

• 4-letter 순열 패턴 삼중체의 모든 Wilf 클래스를 결정함으로써, 전체 분류 문제를 해결한다.
• 두 4-letter 패턴 삼중체의 counting sequence가 첫 16항에서 일치한다면, 그들은 Wilf 등가임을 증명한다.
• 이전 방법들(예: 삽입 인코딩, INSENC)으로 다루지 못한 36개의 삼중체에 대해 생성함수를 계산한다.
• 이 36개의 이전에 세어지지 않은 생성함수가 모두 대수적임을 증명하며, 고급 분석적 및 조합 기법을 사용한다.
• 32개의 비단일 클래스를 포함한 총 242개 Wilf 클래스를 완전히 수세기하며, 317개의 대칭 클래스 분류를 완료한다.

제안 방법

• 317개의 4-letter 패턴 삼중체의 대칭 클래스 각각에 대해 첫 16항의 counting sequence를 계산하기 위해 계산적 수세기 기법을 사용하였다.
• 38개의 삼중체에 대해 삽입 인코딩 알고리즘(INSENC)을 적용하여, 규칙적인 구조를 활용해 생성함수 유도를 수행하였다.
• 조합적 분해에 기인한 함수방정식을 해결하기 위해 커널 방법을 사용하였다. 특히 왼쪽-오른쪽 최댓값과 초기 문자에 기반한 분해에서 유도된 함수방정식에 적용하였다.
• Dyck 경로를 기반으로 한 순열의 셀 분해를 사용하여, 특히 1243 및 관련 패턴을 피하는 구조를 모델링하였다.
• Catalan 수와 Narayana 수를 포함한 이분형과 생성함수 항등식을 적용하여 닫힌 형태의 생성함수를 도출하였다.
• 기호 계산과 대수적 변환을 사용하여 재귀적 또는 함수방정식 기반의 생성함수를 유도하였으며, 이는 중첩된 루트와 제곱근을 포함한 형태도 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 4-letter 패턴 삼중체의 counting sequence가 첫 16항에서 일치한다면, 이들은 Wilf 등가인가?
• RQ2 삽입 인코딩 또는 이전 결과로 아직 수세기되지 않은 36개의 4-letter 패턴 삼중체 각각에 대해 생성함수는 무엇인가?
• RQ3 이 36개의 삼중체에 대한 생성함수는 닫힌 대수적 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ4 이 패턴 삼중체의 생성함수를 뒷받침하는 조합적 구조(예: Dyck 경로, 셀 분해, 왼쪽-오른쪽 최댓값)는 무엇인가?
• RQ5 초기 문자와 극단적 원소 등의 대칭성과 구조적 성질은 생성함수의 형태에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 4-letter 패턴 삼중체의 Wilf 클래스는 정확히 242개이며, 이 중 210개는 단일 클래스이고 32개는 비단일 클래스이다.
• 논문은 counting sequence의 첫 16항에서의 일치가 Wilf 등가성을 의미함을 증명함으로써, 하한과 상한 사이의 격차를 완전히 메웠다.
• 이전에 세어지지 않은 36개의 삼중체는 모두 생성함수가 대수적임을 명시적 유도를 통해 확인하였다.
• 삼중체 {1243,1342,1423}의 생성함수는 $ F_T(x) = \frac{3-2x-\sqrt{1-4x}-\sqrt{2-16x+4x^{2}+(2+4x)\sqrt{1-4x}}}{2(1-\sqrt{1-4x})} $이며, 이는 {1324,1342,1423} 및 {1234,1342,1423}와도 일치한다.
• {1342,2143,4123}의 생성함수는 $ \frac{1-5x+8x^{2}-5x^{3}+3x^{4}}{(1-x)^{2}(1-4x+3x^{2}-x^{3})} $이며, 커널 방법과 함수방정식을 통해 도출되었다.
• Dyck 경로에 라벨이 부여된 골짜지(낮은 골짜지 및 높은 골짜지)를 기반으로 한 새로운 셀 분해 기법을 사용하여 {1243,1342,1423}의 생성함수를 도출하였으며, 이는 $ M(x,y,z) $를 포함한 복잡한 유리식 표현으로 이어졌다. 여기서 $ M(x,y,z) $는 반장, 낮은 골짜지, 높은 골짜지를 기준으로 한 Dyck 경로의 생성함수이다.