[논문 리뷰] Wilf Equivalence for the Charge Statistic

Kendra Killpatrick|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 13.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순열에서 주요 지표(statistic)와 챠지(statistic) 사이의 전단사 관계를 수립하여, 챠지 위프 등가성(weak Wilf equivalence)이 주요 지표 위프 등가성으로 이어진다는 것을 증명한다. Dokos 등이 제기한 추측, 즉 2의 거듭제곱과 주요 지표 사이의 관계를 해결하기 위해, $ n = 2^k - 1 $ 인 경우, 321-피回避 순열에서 주요 지표의 생성함수는 모든 양의 $ q $ 거듭제곱의 계수는 짝수이며, 상수항은 1임을 보여준다.

ABSTRACT

Savage and Sagan have recently defined a notion of st-Wilf equivalence for any permutation statistic st and any two sets of permutations $Π$ and $Π'$. In this paper we give a thorough investigation of st-Wilf equivalence for the charge statistic on permutations and use a bijection between the charge statistic and the major index to prove a conjecture of Dokos, Dwyer, Johnson, Sagan and Selsor regarding powers of 2 and the major index.

연구 동기 및 목표

• 순열 클래스에 대한 챠지 위프 등가성, 특히 $ S_3 $ 에서의 연구를 통해 st-위프 등가성의 프레임워크를 확장한다.
• 순열 변환 $ f $ 를 통한 챠지 통계와 주요 지표 사이의 연결을 수립하여 $ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $ 를 보인다.
• Dokos, Dwyer, Johnson, Sagan, Selsor 가 제기한 추측을 해결한다. 즉, $ n = 2^k - 1 $ 에서 321-피回避 순열의 주요 지표 생성함수의 계수들이 $ i \geq 1 $ 일 때 모두 짝수임을 증명한다.
• 로빈슨-슈엔스테드 대응과 표준 양의 표준형(standard Young tableaux)의 성질을 활용하여 챠지와 주요 지표의 분포를 분석한다.

제안 방법

• 변환 $ f(\pi) = ((\pi^r)^c)^{-1} $ 를 정의하여 순열에서 순열로의 사상으로서, $ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $ 를 만족함을 보인다.
• 로빈슨-슈엔스테드 대응을 사용하여 321-피回避 순열을 표준 양의 표준형 쌍, 특히 1행 및 2행 표준형으로 연결한다.
• $ 2^k - 1 $ 크기의 2행 표준형에 대해 $ \phi_{2^k - 1} $ 의 전단사를 구성하여, 이러한 표준형의 수가 짝수임을 보이고, 이는 생성함수의 계수들이 짝수임을 암시한다.
• 로빈슨-슈엔스테드 대응 하에서 동일한 $ P $-표준형을 가진 순열들은 동일한 채지 값을 가지므로, 채지 값에 따라 순열을 묶을 수 있다.
• 변환 $ f $ 의 대칭성, 즉 321-피回避 순열을 유지하고 주요 지표를 채지로 매핑함으로써 통계 간의 결과를 이전할 수 있음을 활용한다.
• 크기 $ 2^k - 1 $ 의 321-피回避 순열 중 채지가 0인 순열의 수가 정확히 1이며, 나머지 모든 채지 값은 짝수 번 나타남을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기 $ 2^k - 1 $ 의 321-피回避 순열에서 주요 지표 생성함수의 $ q $ 의 모든 양의 거듭제곱 계수는 짝수인가?
• RQ2 채지 통계는 순열 클래스에 대한 위프 등가성 결과를 증명하는 데 사용될 수 있는가, 특히 주요 지표와의 관계에서?
• RQ3 크기 $ 2^k - 1 $ 의 321-피回避 순열에서 채지 통계의 분포는 어떠한가?
• RQ4 변환 $ f $ 는 순열 클래스 전반에 걸쳐 주요 지표와 채지 통계 사이의 관계를 어떻게 설명하는가?

주요 결과

• 변환 $ f $ 는 $ maj(\pi) = ch(f(\pi)) $ 를 만족하여 주요 지표와 채지 통계 사이의 직접적 연결을 수립한다.
• $ n = 2^k - 1 $ 인 경우, 채지가 0인 321-피回避 순열의 수는 정확히 1이며, 항등순열에 해당한다.
• 모든 $ i \geq 1 $ 에 대해, 채지 생성함수 $ Ch_{2^k - 1}(321; q) $ 의 $ q^i $ 계수는 짝수이다.
• 크기 $ 2^k - 1 $ 의 2행 표준 양의 표준형의 수는 짝수이며, 이는 고정점이 없는 치환 $ \phi_{2^k - 1} $ 가 존재하기 때문이다.
• Dokos, Dwyer, Johnson, Sagan, Selsor 가 제기한 추측 — 즉, 크기 $ 2^k - 1 $ 의 321-피回避 순열에서 주요 지표 생성함수의 계수들이 $ i \geq 1 $ 일 때 모두 짝수이다 — 이 참으로 증명되었다.
• 이 결과는 321-피回避를 유지하고 주요 지표를 채지로 매핑하는 전단사 $ f $ 를 통해 채지에서 주요 지표로 이전된다.