[논문 리뷰] Williams' decomposition of the Lévy continuous random tree and simultaneous extinction probability for populations with neutral mutations

Romain Abraham, Jean‐François Delmas|ArXiv.org|2007. 04. 11.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 중립 돌연변이를 가진 인구의 유전적 계보를 분석하기 위해 레비 연속 무작위 나무(Levy continuum random tree)의 윌리엄스 분해를 수립한다. 이 경우 총 인구와 조상의 이브-인구는 동시에 멸종한다. 일반적인 분열 메커니즘을 가진 연속 상태 분열 과정의 탐색 과정과 군집 측도를 사용하여 동시 멸종 확률에 대한 폐쇄형 공식을 유도한다.

ABSTRACT

We consider an initial Eve-population and a population of neutral mutants, such that the total population dies out in finite time. We describe the evolution of the Eve-population and the total population with continuous state branching processes, and the neutral mutation procedure can be seen as an immigration process with intensity proportional to the size of the population. First we establish a Williams' decomposition of the genealogy of the total population given by a continuous random tree, according to the ancestral lineage of the last individual alive. This allows us give a closed formula for the probability of simultaneous extinction of the Eve-population and the total population.

연구 동기 및 목표

• 연속 무작위 나무(CRT) 프레임워크를 사용하여 조상의 이브-인구와 그 중립 돌연변이 자손의 공동 유전적 계보를 기술하기.
• 이론적으로 알려진 동시 멸종 확률 결과를 이차 분열 메커니즘의 경우를 초월하여 일반적인 부분하향 또는 임계 연속 상태 분열 과정(CSBP)으로 확장하기, 특히 무한 분산을 가진 경우.
• 총 인구에서 마지막 생존 개체의 조상 선대로 기반한 CRT에 대한 윌리엄스 분해를 수립하기.
• 일반적인 분열 메커니즘 조건 하에서 이브-인구와 총 인구가 동시에 멸종할 확률에 대한 폐쇄형 표현식을 도출하기.
• 군집 측도와 탐색 과정을 활용하여 이브-인구에서 유입이 있는 CSBP에서 멸종 시간과 경로 기반 역학을 분석하기.

제안 방법

• 연속 상태 분열 과정(CSBP)의 유전적 계보를 코드화하기 위해 고도 과정 $ H $ 와 탐색 과정 $ \rho_t $ 를 사용하며, 르 갈과 르 장의 프레임워크를 확장한다.
• 표준 측도 $ \mathbb{N} $ 와 군집 측도를 사용하여 총 인구 과정 $ Y $ 의 법칙을 기술하며, $ \tau_Y $ 는 그 멸종 시간을 나타낸다.
• 마지막으로 살아있는 개체의 조상 선로를 따라 CRT를 분해하며, 마지막 개체가 탄생한 시간 $ T_0 $ 를 사용한다.
• 라플라스 변환과 적분 방정식 $ \int_{u(\lambda,t)}^{\lambda} \frac{dv}{\psi(v)} = t $ 의 해 $ u(\lambda,t) $ 를 사용하여 $ Y $ 의 분포를 기술한다.
• 멸종 시간 분포를 $ \mathbb{P}_x(\tau_Y < t) = \exp(-x \mathbb{N}[\tau_Y \geq t]) $ 를 통해 도출하며, $ c(t) = \mathbb{N}[\tau_Y \geq t] $ 는 $ \int_{c(t)}^{\infty} \frac{dv}{\psi(v)} = t $ 를 만족하는 해이다.
• 레벨 $ a $ 에서의 총 국소 시간 $ L^a $ 과 함수 $ w_m(t) $, $ w_m^*(t) $ 를 사용하여 조상 선로를 따라 인구 크기의 변화를 모델링하며, 군집 경로를 따라 적분함으로써 최종 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중립 돌연변이를 가진 인구에서 조상의 이브-인구와 총 돌연변이 인구가 동시에 멸종할 확률은 무엇인가?
• RQ2 마지막 개체의 조상 선로를 사용하여 중립 돌연변이를 가진 인구의 계보를 어떻게 분해할 수 있는가?
• RQ3 레비 연속 무작위 나무의 윌리엄스 분해가 무한 분산과 거의 확실한 멸종을 가진 일반적인 CSBP에 적용될 수 있는가?
• RQ4 탐색 과정과 군집 측도는 이브-인구에서 유입이 있는 CSBP에서 멸종 시간을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 분열 메커니즘 $ \psi $ 는 다형태 CSBP에서 불가역적 돌연변이가 있는 경우 동시 멸종 확률에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 일반적인 부분하향 또는 임계 CSBP에 대해 무한 분산과 거의 확실한 멸종 조건을 만족할 때, 이브-인구와 총 인구의 동시 멸종 확률에 대한 폐쇄형 표현식을 수립한다.
• 핵심 결과는 총 인구에서 마지막 생존 개체의 조상 선로를 축으로 하는 레비 연속 무작위 나무의 윌리엄스 분해를 통해 도출된다.
• 동시 멸종 확률는 $ w(0) $ 와 같으며, 여기서 $ w(0) $ 는 분열 메커니즘을 포함하는 미분방정식계의 해로부터 유도된 $ w_m(0) $ 이 $ m \to \infty $ 일 때의 극한이다.
• 유도 과정은 군집 측도의 밀도 식별과 레벨 $ a $ 에서의 국소 시간을 활용하며, 최종 공식은 군집 경로를 따라 적분함으로써 도출된다.
• 이전에는 이차 분열 메커니즘(예: $ \psi(u) = \alpha_0 u + \beta u^2 $)에 대해서만 알려진 공식이, $ \int^{\infty} \frac{dv}{\psi(v)} < \infty $ 를 만족하는 전체 CSBP 클래스로 일반화된다.
• 고도 과정 $ H $ 가 마코프 성질을 가지지 않음을 고려하여, 탐색 과정 $ \rho_t $ 와 관련된 측도 값 마코프 과정을 사용함으로써 방법이 성공적으로 적용된다.