[논문 리뷰] Wilson Fermions, Random Matrix Theory and the Aoki Phase

Gernot Akemann, P.H. Damgaard외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 23.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 카이랄 라그랑지안과 랜덤 행렬 이론을 사용하여, 미세 구조 영역에서 윌슨 디랙 연산자의 $\gamma_5$-에르미트 변형인 $\gamma_5(D_W + m)$의 스펙트럼 밀도에 대한 해석적 표현을 유도한다. $\gamma_5$-에르미트성은 카이랄 라그랑지안에 $a^2$ 계수를 양수로 강제하며, 이는 아오키 전이에 필수적임을 보이고, 격자 시뮬레이션에서 관측된 $a/\sqrt{V}$ 스케일링을 확인한다.

ABSTRACT

The QCD partition function for the Wilson Dirac operator, $D_W$, at nonzero lattice spacing $a$ can be expressed in terms of a chiral Lagrangian as a systematic expansion in the quark mass, the momentum and $a^2$. Starting from this chiral Lagrangian we obtain an analytical expression for the spectral density of $γ_5 (D_W+m)$ in the microscopic domain. It is shown that the $γ_5$-Hermiticity of the Dirac operator necessarily leads to a coefficient of the $a^2$ term that is consistent with the existence of an Aoki phase. The transition to the Aoki phase is explained, and the interplay of the index of $D_W$ and nonzero $a$ is discussed. We formulate a random matrix theory for the Wilson Dirac operator with index $ν$ (which, in the continuum limit, becomes equal to the topological charge of gauge field configurations). It is shown by an explicit calculation that this random matrix theory reproduces the $a^2$-dependence of the chiral Lagrangian in the microscopic domain, and that the sign of the $a^2$-term is directly related to the $γ_5$-Hermiticity of $D_W$.

연구 동기 및 목표

• 미세 구조 영역에서 $\gamma_5(D_W + m)$의 스펙트럼 밀도에 대한 해석적 표현을 유도하는 것.
• 윌슨 디랙 연산자의 $\gamma_5$-에르미트성과 아오키 상 존재 간의 관계를 설정하는 것.
• 위상수 $\nu$를 가진 윌슨 디랙 연산자에 대해 $O(a^2)$ 항을 재현하는 랜덤 행렬 이론(RMT)을 구축하는 것.
• 아오키 상에서 고유값 분포 너비의 $a/\sqrt{V}$ 스케일링을 확인하여 격자 QCD 시뮬레이션과 일치시키는 것.
• 고정된 $\nu$를 가진 최소 디랙 고유값 분포로부터 저에너지 상수 $W_8$를 추출할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 글로벌 대칭성과 QCD 제약 조건에서 유도된 $W_8$ 비례 $O(a^2)$ 항을 포함한 윌슨 페르미온에 대한 카이랄 라그랑지안을 수립하는 것.
• 카이랄 라그랑지안의 평균장 분석을 수행하여, 아오키 상의 시작을 알리는 $m\Sigma = 8a^2W_8$에서의 상전이 점을 규명하는 것.
• $\gamma_5$-에르미트성을 가지며, $A$와 $B$가 에르미트 행렬이고 $C$가 복소 행렬인 $D_W$에 대한 랜덤 행렬 집단을 구성하는 것. 가우시안 가중치 $P \propto e^{-N/4 \operatorname{Tr}[A^2 + B^2] - N/2 \operatorname{Tr}[WW^{ퟚgger}]}$를 사용하여 위상수 $\nu$를 유지하는 것.
• 작은 $a$에서의 미세 구조 근사에서, 분할 함수로부터 스펙트럼 밀도 $\rho_5^\nu(\lambda_5)$를 사다리점 기법을 사용하여 유도하는 것.
• QCD 부등식을 사용하여 $\gamma_5$-에르미트성과 일관성을 유지하기 위해 $W_8 > 0$이 필요함을 증명하는 것. 이는 아오키 상이 물리적으로 허용됨을 보장한다.
• 해석적 결과를 격자 시뮬레이션과 비교하여, 위상 피크의 너비가 $a/\sqrt{V}$ 스케일링을 따른다는 것을 보여주며, 관측된 $\sigma \propto a\sqrt{W_8 V}$와 일치시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\gamma_5$-에르미트성이 카이랄 라그랑지안의 $O(a^2)$ 항의 부호에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ2 비제로 격자 간격 $a$를 가진 미세 구조 영역에서 $\gamma_5(D_W + m)$의 스펙트럼 밀도 $\rho_5^\nu(\lambda_5)$의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ3 아오키 상에서 최소 디랙 고유값의 분포 너비는 $a$와 $V$에 대해 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 고정된 위상수 $\nu$를 가진 윌슨 디랙 연산자에 대해 $O(a^2)$ 보정된 카이랄 라그랑지안을 재현할 수 있는 랜덤 행렬 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ5 고정된 $\nu$를 가진 $D_5$의 고유값 분포 너비로부터 저에너지 상수 $W_8$를 추출할 수 있는가?

주요 결과

• $D_W$의 $\gamma_5$-에르미트성은 $W_8 > 0$을 강제하며, 이는 아오키 상 존재에 필수적인 조건이다.
• $\gamma_5(D_W + m)$의 스펙트럼 밀도는 $\lambda_5 = m$에서 피크를 보이며, 그 너비는 $a/\sqrt{V}$ 스케일링을 보이며 격자 QCD 시뮬레이션과 일치한다.
• 작은 $a$에서 고정된 $\nu$를 가진 최소 고유값의 분포는 평균이 $\sigma = \sqrt{8a^2W_8/V\Sigma^2}$인 가우시안에 근사되며, 이에 따라 $\sigma / \Delta\lambda \propto a\sqrt{W_8 V}$가 된다.
• 랜덤 행렬 이론은 미세 구조 근사에서 $O(a^2)$ 보정된 카이랄 라그랑지안을 재현하며, $\Sigma = N/V$ 및 $W_8 = \frac{1}{2}a^2N$이다.
• $\nu=1$에서의 위상 고유값 밀도에 대한 해석적 표현은 $\rho_{5,{\rm topo}}^{\nu=1}(\lambda_5) = \frac{1}{4a\sqrt{\pi V W_8}} e^{-V\Sigma^2(\lambda_5 - m)^2/(16a^2W_8)}$이며, 이는 $a/\sqrt{V}$ 스케일링을 확인한다.
• 결과는 고정된 $\nu$를 가진 최소 고유값 분포 너비를 측정하여 라틴 데이터로부터 저에너지 상수 $W_8$를 직접 추출할 수 있는 방법을 제공한다.