[논문 리뷰] Wilson-Loop Characterization of Inversion-Symmetric Topological Insulators

A. Alexandradinata, Xi Dai외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 21.

Topological Materials and Phenomena인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1차원 및 2차원의 전 inversion 대칭을 가진 위상绝縁체에 대해 $\eta^{–}$ 분류를 수립하며, 전적으로 반사 대칭에 의해 보호되는 상대 위상 랩링 수 $W$ 를 도입한다. 윌슨 루프와 베리 위상을 사용하여 시간역전 대칭 시스템의 $\nu_{2}$ 불변량과 유사한 위상 불변량을 규명하며, $W$ 는 비음수 정수로 양자화되고 고대칭 운동량에서의 반사 고유값에 의해 결정된다.

ABSTRACT

The ground state of translationally-invariant insulators comprise bands which can assume topologically distinct structures. There are few known examples where this distinction is enforced by a point-group symmetry alone. In this paper we show that 1D and 2D insulators with the simplest point-group symmetry - inversion - have a $Z^{\geq}$ classification. In 2D, we identify a relative winding number that is solely protected by inversion symmetry. By analysis of Berry phases, we show that this invariant has similarities with the first Chern class (of time-reversal breaking insulators), but is more closely analogous to the $Z_2$ invariant (of time-reversal invariant insulators). Implications of our work are discussed in holonomy, the geometric-phase theory of polarization, the theory of maximally-localized Wannier functions, and in the entanglement spectrum.

연구 동기 및 목표

• 점군 대칭에 의해 보호되는 유일한 위상 불변량을 반사 대칭을 가진绝縁체에 정의하는 것.
• 반사 대칭만을 갖는 1차원 및 2차원 위상绝縁체에 대한 분류 체계 수립.
• 윌슨 루프와 베리 위상을 사용하여 새로운 위상 불변량인 상대 위상 랩링 수 $W$ 를 정의하고 특성화하는 것.
• 위상적 구조를 기하 위상, 분극화 및 와너만 함수 국소화와 연결하는 것.

제안 방법

• 연구는 위상적 구조를 탐색하기 위해 게이지 불변 힐로니를 사용하여 점유된 밴드의 운동량 공간에서의 위상적 성질을 분석한다.
• 브라보인 존 내의 폐쇄 경로를 따라 윌슨 루프의 고유스펙트럼을 분석하며, 반사 대칭으로 인해 고정된 $-1$ 고유값에 초점을 맞춘다.
• 상대 위상 랩링 수 $W$ 는 경로를 따라 윌슨 루프 고유값의 위상 랩링의 순변화로 정의되며, 비음수 정수로 양자화된다.
• 반사 대칭 불변 운동량($k=0,\pi$)에서의 대칭 제약 조건을 이용하여, 이 점들에서의 홀수 편위 밴드 수를 통해 $W$ 를 계산한다.
• $W$ 와 첫 번째 채르너 수 $C_1$ 사이의 이중성 관계를 수립하며, 반사 대칭을 유지하는 연속적 변형 동안 $W$ 가 안정됨을 보여준다.
• 와너만 중심 궤적까지의 분석을 확장하여, 대칭성과 게이지 불변성에 의해 $W$ 가 $k_x$ 와 $k_y$ 방향 모두에서 등방성임을 증명한다.

Figure 1: Non-Abelian Berry phases for four distinct insulators. Each figure contains three unit cells in an effective 1D-lattice along $\hat{x}$ ; we track the real-space trajectories of the phases (blue circles) in $\hat{x}$ as momentum $k_{y}$ is varied through two adiabatic cycles. (a) An insula

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 대칭을 가진绝縁체에 대해 점군 대칭에 의해 보호되는 유일한 위상 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 1차원 및 2차원 반사 대칭绝縁체에서 위상 불변량의 성격은 무엇이며, 시간역전 위반 또는 시간역전 대칭 시스템의 불변량과 어떻게 다를까?
• RQ3 상대 위상 랩링 수 $W$ 는 윌슨 루프 고유값 스펙트럼과 고대칭점에서의 반사 고유값과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 위상 분류를 기하 위상과 와너만 함수 국소화의 관점에서 기술할 수 있는가?
• RQ5 위상 랩링 수 $W$ 는 단지 반사 대칭을 유지하는 변형에 대해 안정하며, 단지 반사 대칭에 의해 보호되는가?

주요 결과

• 논문은 1차원 및 2차원 반사 대칭 위상绝縁체에 대해 $\mathbb{Z}^{\geq}$ 분류를 수립하며, 불변량 $N_{(-1)}$ 는 윌슨 루프 고유값이 $-1$ 으로 고정된 수를 세는 것으로 정의된다.
• 상대 위상 랩링 수 $W$ 는 반사 대칭에 의해 보호되는 위상 불변량으로 밝혀졌으며, 비음수 정수로 양자화된다.
• 불변량 $W$ 는 $k=0$ 과 $k=\pi$ 에서의 홀수 편위 밴드 수의 차이에 의해 결정되며, 복소수 쌍이 존재하지 않을 경우 $W = \left| n_{(-)}(\pi) - n_{(-)}(0) \right|$ 로 표현된다.
• 상대 위상 랩링 수 $W$ 는 등방성임이 입증되었으며, 반사 대칭과 시간역전 대칭의 조합 제약 조건으로 인해 $k_x$ 또는 $k_y$ 경로를 따라 계산해도 동일한 값을 가진다.
• $k=0$ 과 $k=\pi$ 에서의 윌슨 루프 고유값 스펙트럼은 위상 불변량을 완전히 결정하며, 이는 점유된 밴드의 대칭 표현과 연결된다.
• 불변량 $W$ 는 반사 대칭만으로도 안정된 점을 감안할 때, 시간역전 대칭 시스템의 $\mathbb{Z}_2$ 불변량과 유사하며, 채르너 수와는 다름을 밝혀냈다.

Figure 2: The Wannier center flows for a 2D insulator with ${\cal I}$ symmetry. Each figure contains three unit cells in an effective 1D-lattice along $\hat{x}$ ; the positions of the primary sites are indicated by black dots. The ground state contains two occupied bands, hence there are two Wannier