[논문 리뷰] Wong-Rosay Theorem in almost complex manifolds

Hervé Gaussier, Alexandre Sukhov|arXiv (Cornell University)|2003. 07. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스케일링 방법, Kobayashi 무한소 준거리 추정, 그리고 $J$-호로모르픽 곡선의 사전 경계를 사용하여, 4차원 거의 복소다양체에서 미분형사의 수열에 대한 컴팩트니스 기준을 확립함으로써 Wong-Rosay 정리를 거의 복소다양체로 확장한다. 만약 이미지 구조가 $\mathcal{C}^2$에서 수렴하고, 수열의 미분형사가 엄격한 준볼록 경계점에 수렴한다면, 도메인은 $\mathbb{C}^2$의 단위구반공과 생물함수적으로 동일시할 수 있다. 이는 엄격한 준볼록 거의 복소도메인에서 자기형사군의 컴팩트니스 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We study the compactness of sequences of diffeomorphisms in almost complex manifolds in terms of the direct images of the standard integrable structure.

연구 동기 및 목표

• 기존의 Wong-Rosay 정리를 거의 복소다양체 내 엄격한 준볼록 도메인으로 일반화하는 것.
• 표준 복소다양체의 직접 이미지 수렴 조건을 통한 거의 복소다양체에서의 미분형사 수열에 대한 컴팩트니스 기준을 설정하는 것.
• 만약 $\mathbb{C}^2$ 내 유계 도메인이 $\mathcal{C}^2$ 수렴하는 거의 복소다양체에서 자기형사 궤적이 $\mathcal{C}^2$ 엄격한 준볼록 경계점에 수렴한다면, 그 도메인이 단위구반공과 생물함수적으로 동일시됨을 증명하는 것.
• 만약 어떤 거의 복소다양체 내 4차원 엄격한 준볼록 도메인에 대해 단위구반공과의 생물함수 사상이 존재하지 않는다면, 그 도메인의 자기형사군이 컴팩트오픈 위상에서 컴팩트함을 보이는 것.

제안 방법

• S. Pinchuk의 스케일링 방법을 비통합 가능한 거의 복소 설정으로 적응시키며, 통합성 부족으로 인한 수정이 필요하다.
• 거의 복소다양체에서 Kobayashi 무한소 준거리의 하한 추정을 사용하여, 구조 수렴 하에서 기하학을 제어하는 데 사용한다.
• 참고문헌 [10]의 결과에 대한 정량적 변형을 통해 $J$-호로모르픽 곡선에 대한 사전 $C^1$-경계를 적용하여, 스케일링된 사상의 등연속성을 보장한다.
• 레마 1을 통한 국소 모델링을 통해, 어떤 거의 복소다양체 구조도 점 근처에서 표준 구조의 소규모 $\mathcal{C}^2$-편미로 표현할 수 있음을 보장한다.
• 스케일링된 미분형사 수열 $F^\nu = \Lambda^\nu \circ A^\nu \circ f^\nu$를 구성하고, 제2의 보조정리를 적용하여 표준 구조에 대해 해석적인 극한 사상 $F$를 추출한다.
• 역수 수열 $(F^\nu)^{-1}$에 아스콜리 정리를 적용하여 극한 사상 $\tilde{F}$를 추출하며, 만약 단위구반공과의 생물함수 사상이 존재한다면 이는 모순을 초래한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 $\mathbb{C}^2$ 내 도메인에서 거의 복소다양체 내 엄격한 준볼록 도메인으로의 미분형사 수열이 어떤 조건에서 단위구반공으로의 생물함수 사상으로 수렴하는가?
• RQ2 4차원에서 비통합 가능한 거의 복소다양체에 대해 고전적인 Wong-Rosay 정리를 확장할 수 있는가?
• RQ3 거의 복소다양체의 $\mathcal{C}^2$-수렴이 자기형사군의 컴팩트니스를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기하학적 제어를 위해 스케일링 방법을 비통합 설정에서 $J$-호로모르픽 곡선에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ5 거의 복소다양체에서 등연속성을 확보하기 위해 $J$-호로모르픽 사상의 도함수에 필요한 정량적 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 만약 $\mathbb{C}^2$ 내 유계 도메인 $D$ 에서부터 도메인 $G^\nu \subset M$ 으로 향하는 수열 $f^\nu$ 가 $\|J_\nu - J\|_{\mathcal{C}^2(\bar{U})} \to 0$ 를 만족하고 $f^\nu(x^0) \to p$ 이면, $D$ 는 단위구반공 $\mathbb{B}_2$ 와 생물함수적으로 동일시된다.
• 만약 $D$ 가 $\mathbb{B}_2$ 와 생물함수적으로 동일시되지 않으며, $J_\nu$ 가 $J$ 로 $\mathcal{C}^2$ 수렴한다면, 수열 $(f^\nu)$ 는 컴팩트오픈 위상에서 상대적으로 컴팩트하다.
• 만약 4차원 거의 복소다양체 내 엄격한 준볼록 도메인 $D$ 에 대해 $D$ 와 $\mathbb{B}_2$ 사이의 생물함수 사상이 존재하지 않는다면, 자기형사군 $Diff_{(J,J)}(D,D)$ 는 컴팩트오픈 위상에서 컴팩트하다.
• $\|J' - J_{st}\|_{\mathcal{C}^2} \leq \delta_0$ 를 만족하는 충분히 작은 $\delta_0 > 0$ 에 대해, $\mathbb{C}^2$ 에 침입하는 $J'$-호로모르픽 사상에 대해 정량적 $C^1$-경계 $\|f_{J'}\|_{\mathcal{C}^1(K)} \leq C_{K,\delta_0} \|f_{J'}\|_{\mathcal{C}^0(K)}$ 가 성립한다.
• 스케일링된 사상 $F^\nu = \Lambda^\nu \circ A^\nu \circ f^\nu$ 는 컴팩트 집합에서 균일 수렴하여 $(J, J_{st})$-해석적 극한 사상 $F$ 로 수렴하며, 이는 그 이미지 위로의 생물함수 사상이다.
• 역수 수열 $((F^\nu)^{-1})$ 는 컴팩트 부분집합에서 등연속적이라 아스콜리 정리를 통해 극한 사상 $\tilde{F}$ 를 추출할 수 있으며, 만약 단위구반공과의 생물함수 사상이 존재한다면 이는 모순을 초래한다.