[논문 리뷰] Wong--Zakai Approximations of Stochastic Allen-Cahn Equation

Zhihui Liu, Zhonghua Qiao|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 추가적인 공간-시간 브라운 운동에 의해 구동되는 스토크래틱 얼렌-클란 방정식의 웡-자카이-갈레르킨 근사에 대해 조건부가 아니며 최적의 강한 수렴 속도를 확립한다. 추가적인 노이즈 구조와 드리프트의 단조성에 기반하여, 저자들은 마팅게일 타입 2 바나흐 공간에서의 인수분해 및 스토크래틱 미분법을 활용해 날카로운 오차 추정치를 도출하며, 해와 그 근사의 $L^p$-노름에서 $Ø\left(\left(\frac{1}{m}\right)^{1/4} \wedge \left(\frac{1}{n}\right)^{1/2}\right)$ 의 수렴 속도를 달성한다.

ABSTRACT

We establish a unconditional and optimal strong convergence rate of Wong--Zakai type approximations in Banach space norm for a parabolic stochastic partial differential equation with monotone drift, including the stochastic Allen--Cahn equation, driven by an additive Brownian sheet. The key ingredient in the analysis is the fully use of additive nature of the noise and monotonicity of the drift to derive a priori estimation for the solution of this equation, in combination with the factorization method and stochastic calculus in martingale type 2 Banach spaces applied to deduce sharp error estimation between the exact and approximate Ornstein--Uhlenbeck processes, in Banach space norm.

연구 동기 및 목표

• 추가 공간-시간 화이트 노이즈를 갖는 웡-자카이-갈레르킨 근사에 대해 조건부가 아니며 최적의 강한 수렴 속도를 도출한다.
• 이전 연구에서 조건부 수렴 속도의 한계를 극복하기 위해 표본 경로 집합에 대한 확률적 가정을 제거한다.
• 최소한의 초기 데이터 가정 하에 해와 관련된 옴스타인-울렌벡 과정에 대한 $L^p$-노름에서의 날카로운 오차 경계를 수립한다.
• 기존의 결과를 립시츠 조건이 아닌 다항식 성장 드리프트로 일반화하기 위해 바나흐 공간 설정에서의 새로운 사전 추정치를 도입한다.

제안 방법

• 추가 노이즈 구조를 활용해 스토크래틱 편미분방정식을 무작위 편미분방정식으로 변환함으로써 확률적 성분과 결정론적 성분을 분리한다.
• 마팅게일 타입 2 바나흐 공간에서의 인수분해 기법과 스토크래틱 미분법을 적용하여 정확한 근사된 옴스타인-울렌벡 과정에 대한 균일한 경계를 도출한다.
• 스펙트럼 갈레르킨 사영과 노이즈의 시간적 조각별 상수 근사화를 결합하여 웡-자카이-갈레르킨 방법을 구성한다.
• 드리프트 $f$ 의 단조성과 다항식 성장 조건을 활용하여 해와 오차 항에 대한 사전 추정치를 도출한다.
• 그로브랄의 부등식과 헬더/요운 부등식을 적용하여 $L^p$-노름에서 드리프트에 기인한 비선형 항을 제어한다.
• 비리프시츠 비선형성을 다루기 위해 중요한 $L^\rho(0,T;L^\rho(\rho;L^\rho(0,1)))$-유형의 노름에서 수렴 속도를 확립한다. 이는 $\rho > 2$ 인 경우에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 노이즈를 갖는 스토크래틱 얼렌-클란 방정식에 대한 웡-자카이 근사에 대해 조건부가 아니며 최적의 강한 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ2 최소한의 초기 데이터 정규성 가정 하에 시간($m$)과 공간($n$) 이산화 파라미터에 따라 수렴 속도는 어떻게 달라지는가?
• RQ3 비리프시츠 드리프트에 대해 바나흐 공간 노름에서 정확한 해와 웡-자카이-갈레르킨 근사 사이의 날카로운 오차 추정치는 무엇인가?
• RQ4 인수분해 기법과 마팅게일 타입 2 공간에서의 스토크래틱 미분법은 단조성과 다항식 성장 드리프트를 갖는 SPDE의 수렴 분석을 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 수렴 속도는 점점 줄어드는 확률 집합에 의존하는 조건부 추정치를 초월해 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 해와 그 근사에 대해 $L^p(0,T;L^p(\Omega;L^p(0,1)))$-노름에서 $\mathcal{O}\left(\left(\frac{1}{m}\right)^{1/4} \wedge \left(\frac{1}{n}\right)^{1/2}\right)$ 의 조건부가 아닌 강한 수렴 속도를 확립한다. 이는 임의의 $1 \leq p < \frac{p_*}{2} + 1$ 에 대해 성립한다.
• 이 수렴 속도는 최적이며, 이전 결과가 $\mathbb{P}(\Omega_{\tau,h}) \to 1$ 를 요구한 것과 달리 표본 경로에 조건 없이 성립한다.
• 분해 기법과 마팅게일 타입 2 바나흐 공간에서의 스토크래틱 미분법을 조합하여 높은 순서의 모멘트를 제어함으로써 날카로운 오차 추정치를 달성한다.
• 특히 $p \geq 2$ 인 경우, 개선된 추정치는 $\mathbb{E}\left[\|u - u^{m,n}\|_{L^p}^p\right] + \int_0^T \mathbb{E}\left[\|u - u^{m,n}\|_{L^{p+q-2}}^{p+q-2}\right] dt \leq C\left(1 + \mathbb{E}[\|u_0\|_{L^p}^p]\right)\left(\left(\frac{1}{m}\right)^{1/4} \wedge \left(\frac{1}{n}\right)^{1/2}\right)^{\frac{p+q-2}{q-1}}$ 를 만족하며, 여기서 $q > 2$ 이다.
• 초기 자료 요구 조건은 매우 낮다: $u_0 \in L^{p_*}(\Omega; L^{p_*}(0,1))$ 이면 충분하다.
• 이 방법은 단조성과 다항식 성장 드리프트를 갖는 SPDE로 일반화 가능하며, 리프시츠 조건에 의존하는 이전 접근법의 한계를 극복한다.