[논문 리뷰] Word images in symmetric and unitary groups are dense

Jakob Schneider, Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 26.

Finite Group Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 자유군 $ F_k $ 내의 비자명한 단어 $ w $에 대해, $ n $ 이 충분히 클 때, 정규화된 하밍 거리 또는 질량 거리에 대한 $ G_n $ 에서의 단어 사상 $ w: G_n^k \to G_n $ 의 상이 $ \varepsilon $-밀도가 된다는 것을 증명한다. 이 결과는 대칭군과 유니터리 군에 대해 셸레프와 라르센의 추측의 거리 척도에 해당하는 형태를 확인하며, 이러한 군들의 거리 초구적 극한에서 비자명한 단어 사상이 전사임을 보여준다.

ABSTRACT

Let $w\in{ m F}_k$ be a non-trivial word and denote by $w(G)\subseteq G$ the image of the associated word map $w\colon G^k o G$. Let $\mathcal G=(G_n,d_n)_n$ be either the family $({ m Sym}(n),d_{ m H})_n$ of finite symmetric groups equipped with the normalized Hamming distance or the family $({ m U}(n),d_{ m rk})_n$ of unitary groups of finite rank equipped with the normalized rank metric. For $\varepsilon>0$, we prove that there exists an integer $N(\varepsilon,w)$ such that $w(G_n)$ is $\varepsilon$-dense in $G_n$ with respect to the metric $d_n$ if $n\geq N(\varepsilon,w)$. This confirms metric versions of a conjectures by Shalev and Larsen. Equivalently, we prove that any non-trivial word map is surjective on a metric ultraproduct of groups from $\mathcal G$ with respect to a free ultrafilter.

연구 동기 및 목표

• 군의 크기가 증가함에 따라 대칭군과 유니터리 군에서 단어 사상의 거리 밀도를 확립하는 것.
• 셰일레프와 라르센의 추측에 대한 거리 척도 형태를 검증하는 것.
• 정규화된 척도 하에서 $ \mathrm{Sym}(n) $ 과 $ \mathrm{U}(n) $ 에서 단어 사상의 渐近적 행동을 분석하는 것.
• 이러한 군들의 거리 초구적 극한에서 비자명한 단어 사상이 전사가 됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 대칭군 $ \mathrm{Sym}(n) $ 에서는 정규화된 하밍 거리를, 유니터리 군 $ \mathrm{U}(n) $ 에서는 정규화된 랭크 거리를 사용하여 군 원소 간의 가까움을 측정한다.
• 모델 이론과 초구적 극한의 도구를 활용하여 단어 사상의 渐近적 행동을 분석한다.
• 조합론적 및 표현 이론적 기법을 사용하여 단어 상의 크기와 분포를 근사한다.
• 모든 $ n \geq N(\varepsilon, w) $ 에 대해 $ w(G_n) $ 이 $ G_n $ 에서 $ \varepsilon $-밀도가 되도록 하는 $ N(\varepsilon, w) $ 가 존재함을 증명한다.
• 문제를 단어 상이 항등원 또는 다른 원소 주변의 $ \varepsilon $-구역을 유한번 이외로 피하는 것으로 줄인다.
• 유한 단순군의 구조와 단어 사상의 성질을 활용하여 상의 분포에 대한 균일성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 비자명한 단어 $ w $ 에 대해, $ n \to \infty $ 일 때 단어 사상 $ w: G_n^k \to G_n $ 의 상이 $ G_n $ 에서 $ \varepsilon $-밀도가 되는가?
• RQ2 셰일레프와 라르센의 단어 사상 전사성 추측을 대칭군과 유니터리 군에서 거리 밀도로 강화할 수 있는가?
• RQ3 모든 $ w(G_n) $ 가 $ G_n $ 에서 $ \varepsilon $-밀도가 되는 데 있어 통일된 임계값 $ N(\varepsilon, w) $ 가 존재하는가?
• RQ4 자유 초필터에 대한 $ \mathrm{Sym}(n) $ 또는 $ \mathrm{U}(n) $ 의 거리 초구적 극한은 비자명한 $ w $ 에 대해 전사적인 단어 사상을 갖는가?
• RQ5 정규화된 거리(하밍 또는 랭크)는 단어 사상 상의 渐近적 분포에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 비자명한 단어 $ w \in F_k $ 에 대해, $ \varepsilon $-밀도가 $ G_n $ 에서 정규화된 하밍 또는 랭크 거리에 대해 모든 $ n \geq N(\varepsilon, w) $ 에 대해 성립하는 $ N(\varepsilon, w) $ 가 존재한다.
• 이 결과는 대칭군과 유니터리 군에 대해 셸레프와 라르센의 추측의 거리 척도 형태를 확인한다.
• 비자명한 단어 사상은 자유 초필터에 대한 $ \mathcal{G} = (\mathrm{Sym}(n), d_{\mathrm{H}})_n $ 또는 $ (\mathrm{U}(n), d_{\mathrm{rk}})_n $ 의 거리 초구적 극한에서 전사적이다.
• 밀도 임계값 $ N(\varepsilon, w) $ 는 $ \varepsilon $ 과 단어 $ w $ 에만 의존하며, 특정 군 수열에 따라 달라지지 않는다.
• 증명은 큰 대칭군과 유니터리 군에서 단어 상의 분포에 대한 균일성을 확립한다.
• 단어 $ w $ 가 비자명하다면, 그 구조에 관계없이 단어 사상 상은 항상 밀도가 된다.