[논문 리뷰] Words and Transcendence

Michel Waldschmidt|ArXiv.org|2009. 08. 27.

semigroups and automata theory참고 문헌 42인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기수 $g \geq 2$ 전개를 통해 대수적 수와 초월수를 구별할 수 있는지 조사한다. 특히 Borel의 추측, 즉 모든 무리대수적 수가 모든 기수 $g \geq 2$ 에서 정규적임을 주장하는 바를 중심으로 다룬다. Schmidt의 부분공간정리와 디오판틴 대수적 근사 이론 등의 도구를 활용한 이론적 진전에도 불구하고, $g \geq 3$ 인 기수 전개에서 어떤 한 자릿수가 무한히 많이 나타나는 대수적 수의 구체적 예시는 아직 알려져 있지 않다. 이는 추측과 증명 사이에 여전히 큰 격차가 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Is it possible to distinguish algebraic from transcendental real numbers by considering the $b$-ary expansion in some base $b\ge2$? In 1950, É. Borel suggested that the answer is no and that for any real irrational algebraic number $x$ and for any base $g\ge2$, the $g$-ary expansion of $x$ should satisfy some of the laws that are shared by almost all numbers. There is no explicitly known example of a triple $(g,a,x)$, where $g\ge3$ is an integer, $a$ a digit in $\{0,...,g-1\}$ and $x$ a real irrational algebraic number, for which one can claim that the digit $a$ occurs infinitely often in the $g$-ary expansion of $x$. However, some progress has been made recently, thanks mainly to clever use of Schmidt's subspace theorem. We review some of these results.

연구 동기 및 목표

• $g \geq 3$ 인 기수 전개를 통해 무리대수적 수와 초월수를 구별할 수 있는지 조사한다.
• 1950년 Borel이 제기한 추측, 즉 모든 무리대수적 수가 모든 기수 $g \geq 2$ 에서 정규적임을 검토한다.
• 대수적 수의 자릿수 빈도 또는 출현 패턴을 증명하는 데 있어 현재의 이론적 및 계산적 한계를 규명한다.
• Schmidt의 부분공간정리와 디오판틴 대수적 근사 기법을 활용한 최근 성과를 조사하여 대수적 수의 $g$-진 전개의 구조를 이해한다.

제안 방법

• Borel의 정규수 이론과 Lebesgue 측도를 활용해 실수의 $g$-진 전개에서 일반적인 행동을 정의한다.
• Schmidt의 부분공간정리를 적용하여 대수적 수의 자릿수 분포에 대한 제약 조건을 도출한다.
• 동시 근사와 Mahler의 볼록체를 포함한 디오판틴 대수적 근사 기법을 사용해 연분수 전개와 근사 지수를 연구한다.
• 특정 근사 성질을 가진 초월수를 구성하거나 분석하기 위해 슈투르미안 및 자동 수열(특히 피보나치 수열과 두-모르스 단어)을 고려한다.
• Champernowne나 Copeland-Erdős의 정규수 구성법을 검토하여 대수적 수와 대비한다.
• Roy, Bugeaud, Fischler, Adamczewski의 연구 결과를 평가하여 연분수와 형태적 수열을 통한 수의 근사 및 그 제곱의 근사 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $g \geq 3$ 인 경우, 주어진 자릿수 $a \in \{0, \dots, g-1\}$ 가 임의의 무리대수적 수 $x$ 의 $g$-진 전개에서 무한히 많이 나타나는 것으로 증명할 수 있는가?
• RQ2 차수 $\geq 3$ 인 실수 대수적 수가 모레니즘으로 생성된 연분수 전개를 가질 수 있는가?
• RQ3 모든 대수적 수는 이진 전개에서 임의로 큰 팰린드롬이나 스퀘어를 포함하는가?
• RQ4 $x > 0$ 인 실수 $x$ 가 기수 $g$ 에서 정규적이지만 $1/x$ 는 동일한 기수에서 정규적이지 않은 구체적 예시가 존재하는가?
• RQ5 임의의 비최종적으로 주기적이지 않은 이진 수열 $(e_n)$ 에 대해 $\sum_{n \geq 1} e_n 2^{-n}$ 또는 $\sum_{n \geq 1} e_n 3^{-n}$ 중 적어도 하나는 초월수인가?

주요 결과

• $g \geq 3$, $a \in \{0, \dots, g-1\}$, 그리고 무리대수적 수 $x$ 에 대해 $g$-진 전개에서 자릿수 $a$ 가 무한히 많이 나타나는 구체적 예시는 아직 알려져 있지 않다.
• $g \geq 2$ 와 $k \geq 1$ 에 대해, 모든 길이 $k$ 의 자릿수 조합이 무한히 많이 나타나는 실수 대수적 수가 존재하지만, 이러한 구성은 대수적 성질과 강하게 연결되어 있지는 않다.
• Mahler는 임의의 무리실수 $\alpha$ 와 임의의 $k$-자리 수열에 대해, $m \leq g^{2k+1}$ 인 정수 $m$ 이 존재하여 $m\alpha$ 가 그 수열을 무한히 많이 포함함을 증명하였다. 이 bound 는 Berend와 Boshernitzan에 의해 $2g^{k+1}$ 으로 향상되었다.
• Roy의 2003년 정리에 따르면, 피보나치 단어에서 유도된 특정 연분수 전개는 매우 우수한 동시 근사 성질을 가지며, 이는 초월성을 암시한다.
• $a, g > 1$ 이 서로소일 경우 $\sum_{n \geq 0} a^{-n} g^{-a^n}$ 은 기수 $g$ 에서 정규적이다. 이는 정규수의 구체적 구성법을 제공한다.
• 자동수의 역수는 자동수일 필요가 없으며, [45] 에서 이는 [15] 의 질문에 대해 부정적으로 해결되었다.