[논문 리뷰] Words avoiding reversed subwords

Narad Rampersad, Jeffrey Shallit|ArXiv.org|2003. 11. 07.

Syntax, Semantics, Linguistic Variation참고 문헌 3인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 길이가 적어도 k 이상인 부분단어가 다른 부분단어의 역순이 되지 않는 무한 단어를 조사한다. 이는 k ≥ 2일 때 이진 및 삼진 알파벳에서 주기적이고 비주기적인 무한 단어를 구성하며, 5글자 알파벳에서는 길이 ≥2인 역 부분단어를 피하는 무한 제곱 없는 단어가 존재함을 보여준다. 주요 기여는 몰피즘을 이용한 이러한 단어의 구성과, 구조적 및 조합론적 추론을 통한 존재성 및 비주기성의 증명이다.

ABSTRACT

We examine words w satisfying the following property: if x is a subword of w and |x| is at least k for some fixed k, then the reversal of x is not a subword of w.

연구 동기 및 목표

• 길이가 적어도 k 이상인 부분단어가 다른 부분단어의 역순이 되지 않는 무한 단어가 존재하는지 결정하는 것.
• k ≤ 4일 때, 이진 알파벳에서 이러한 단어의 최대 길이를 특성화하는 것.
• 더 큰 k 값에 대해 비주기적인 무한 단어를 구성하여 역 부분단어를 피하는 것.
• 무한 단어에서 역 부분단어 피하기와 제곱 없는 성질 간의 상호작용을 탐색하는 것.
• 크기가 5인 알파벳으로 확장하여, 길이 ≥2인 역 부분단어를 피하는 무한 제곱 없는 단어의 존재를 보여주는 것.

제안 방법

• 기존의 비주기적 또는 제곱 없는 단어에서 유도된 무한 단어를 생성하기 위해 몰피즘 h: Σ* → Δ* 를 사용하는 것.
• 역 피하기를 보장하기 위해 특정 몰피즘을 구성하는 것, 예를 들어 Σ₃에서 h(0) = 0012, h(1) = 0112 및 Σ₂에서 h(0) = 0001011, h(1) = 0010111.
• 역 피하기를 확인하기 위해 길이 k의 부분단어가 그 역순도 단어에 존재하지 않는지 검증하는 것.
• 모순을 통한 비주기성 증명: 단어가 주기적이라면 원천 단어에서도 주기성이 발생하여, 비주기적 시드의 선택과 모순된다.
• 삼진 알파벳에서 제곱 없는 단어에 대한 Thue의 결과를 활용하여 구성된 무한 단어의 제곱 없는 성질을 보장하는 것.
• 조합론적 추론을 통해, 만약 어떤 단어가 길이 k의 역 부분단어를 피한다면, 길이 k의 부분단어만 확인하면 충분함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 알파벳 위에 길이가 적어도 k 이상인 부분단어가 다른 부분단어의 역순이 되지 않는 무한 단어가 존재하는가?
• RQ2 작은 k에 대해 이진 알파벳에서 길이 k의 역 부분단어를 피하는 단어의 최대 길이는 얼마인가?
• RQ3 k ≥ 3에 대해 비주기적인 무한 단어를 구성할 수 있는가?
• RQ4 길이 ≥2인 역 부분단어를 피하는 무한 제곱 없는 단어를 구성할 수 있는가?
• RQ5 길이 ≥2인 역 부분단어를 피하는 무한 제곱 없는 단어를 구성하기 위해 필요한 최소 알파벳 크기는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 |x| ≥ 2에 대해 역 부분단어를 피하는 무한 주기적 단어가 Σ₃에 존재하며, 특히 (012)ω이다.
• 모든 |x| ≥ 3에 대해 역 부분단어를 피하는 무한 비주기적 단어가 Σ₃에 존재하며, 비주기적 이진 단어에서 유도된 몰피즘을 통해 구성된다.
• 이진 알파벳에서 k ≤ 4일 때, 길이 ≥k인 역 부분단어를 피하는 무한 단어는 존재하지 않으며, 이러한 단어의 최대 길이는 8이다.
• 길이 |x| ≥ 6에 대해 역 부분단어를 피하는 무한 비주기적 단어가 Σ₂에 존재하며, h(0) = 0001011 및 h(1) = 0010111인 몰피즘을 통해 구성된다.
• 5글자 알파벳에서는 길이 ≥2인 역 부분단어를 피하는 무한 제곱 없는 단어가 존재하며, 제곱 없는 삼진 단어에서 유도된 몰피즘을 통해 구성된다.
• Σ₂에서 k ≥ 5일 때, 길이 ≥5인 역 부분단어를 피하는 무한 단어 (001011)ω가 존재하며, 이러한 단어는 특정 접두사 제약 조건을 만족하는 궁극적으로 주기적임을 보여준다.