[논문 리뷰] Woronowicz's Tannaka-Krein duality and free orthogonal quantum groups

Sara Malacarne|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 15.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 힐버트 공간 $H$ 의 텐서 거듭제곱 간의 연산자 집합으로부터 호프 $^*$-대수 $\mathbb{C}[G]$ 를 재구성하여, 콤팩트 양자군에 대한 워노비츠의 Tannaka-Krein dualit의 범주 없는 증명을 제공한다. 이 과정에서 유도된 양자군 $G$ 의 상호작용자들이 주어진 연산자들과 정확히 일치하도록 보장한다. 주요 기여는 이중성과 아이디얼 몫을 통한 직접적이고 대수적인 양자군 구축 방법으로, 자유 수직 및 단위 양자군으로의 일반화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Given a finite dimensional Hilbert space H and a collection of operators between its tensor powers satisfying certain properties, we give a category-free proof of the existence of a compact quantum group G with a fundamental representation U on H such that the intertwiners between the tensor powers of U coincide with the given collection of operators. We then explain how the general version of Woronowicz's Tannaka-Krein duality can be deduced from this.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 양자군에 대한 워노비츠의 Tannaka-Krein 이중성에 대해 범주적 언어를 사용하지 않고, 유한차원 이중성과 대수적 구성만을 사용한 증명을 제공한다.
• 유한차원 힐버트 공간 $H$ 의 텐서 거듭제곱 간의 연산자 집합으로부터 호프 $^*$-대수 $\mathbb{C}[G]$ 를 명시적으로 재구성한다.
• 구축된 양자군 $G$ 의 표현 범주가 주어진 상호작용자 범주와 일치함을 확립한다.
• 유한하거나 무한한 개체로 생성된, 공액수를 갖는 임의의 강한 $C^*$-텐서 범주로 결과를 일반화한다.
• 자유 수직 및 단위 양자군과 같은 예시들에 대해 이 구성 방법을 적용하여, 그 상호작용자 범주가 주어진 연산자 집합과 일치함을 보여준다.

제안 방법

• 모든 $k \geq 0$ 에 대해 $B(H^{\bigotimes k})^*$ 의 직합인 $\mathcal{A} = \bigoplus_{k=0}^\infty B(H^{\bigotimes k})^*$ 를 $B(H)$ 의 선형 함수들의 보편 대수로 정의한다.
• 곱셈 구조 $B(H)$ 에서 유도된 이중성에 의해 $\mathcal{A}$ 에 이중대수 구조를 구성하며, 코곱은 $\Delta(u_{ij}) = \sum_k u_{ik} \otimes u_{kj}$ 로 주어진다.
• 모든 수준 $n$ 에서 연산자 집합 $\mathcal{C}$ 의 반대칭환에서의 함수가 0이 되는 함수들의 집합인 $\mathcal{I}_n$ 으로 구성된 이중이데알 $\mathcal{I} = \bigcup_n \mathcal{I}_n$ 을 정의하여 텐서 구조와의 호환성을 확보한다.
• $\mathcal{I}$ 가 코곱과 코어푸션에 대해 보존됨을 보여, $\mathcal{A}/\mathcal{I}$ 가 호프 $^*$-대수임을 증명한다.
• $\mathbb{C}[G] = \mathcal{A}/\mathcal{I}$ 가 $H$ 에서의 기본 유니터리 표현 $U$ 를 지닌다. 이 표현의 상호작용자들은 정확히 $\mathcal{C}$ 의 연산자들과 일치한다.
• 유한 부분범주에 대한 귀납적 극한을 취하고, 양자군 구성의 유일성을 이용하여 일반적인 $C^*$-텐서 범주로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워노비츠의 Tannaka-Krein 이중성은 범주론적 언어를 사용하지 않고, 유한차원 이중성과 대수적 구성만으로 증명될 수 있는가?
• RQ2 주어진 힐버트 공간 $H$ 의 텐서 거듭제곱 간의 상호작용자 집합으로부터 콤팩트 양자군의 호프 $^*$-대수를 명시적으로 재구성할 수 있는가?
• RQ3 텐서 거듭제곱 간의 연산자 집합이 콤팩트 양자군의 상호작용자로 나타나기 위해 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 단일 생성자 범주에서부터 유한 또는 무한 개의 생성자를 갖는 범주로의 구성은 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 자유 수직 및 단위 양자군은 이 방법을 통해 복원될 수 있으며, 그 상호작용자 범주가 주어진 연산자 집합과 일치하는가?

주요 결과

• 주어진 다섯 가지 공리들을 만족하는 집합 $\mathcal{C}$ 가 있을 때, $H$ 에서 자기공액 기본 표현을 갖는 유일한 콤팩트 양자군 $G$ 가 존재하며, 모든 $k,l \geq 0$ 에 대해 $\operatorname{Hom}_G(H^{\otimes k}, H^{\otimes l}) = \mathcal{C}(k,l)$ 임을 증명한다.
• $\mathbb{C}[G]$ 는 $\mathcal{A}/\mathcal{I}$ 로 명시적으로 구성되며, 여기서 $\mathcal{I}$ 는 연산자 체계 $\mathcal{C}$ 의 반대칭환에서 0이 되는 함수들의 이중이데알이다.
• 이 구성은 범주론적 언어를 사용하지 않으며, 유한차원 이중성과 선형대수학만을 기반으로 하여 전체 범주론적 기법을 피한다.
• 자유 수직 양자군 $O_F^+$ 는 $\mathcal{C}$ 가 공액수 방정식을 만족하는 단일 연산자 $R$ 으로 생성될 때의 특수한 경우이다.
• 자유 단위 양자군 $U_Q^+$ 는 $H = K \oplus \overline{K}$ 를 취하고, 프로젝션 $p$ 와 공액수 방정식의 해 $R$ 을 포함함으로써 복원된다.
• 일반적인 $C^*$-텐서 범주에 대해서는, 유한 부분범주에 대응하는 양자군들의 귀납적 극한을 취함으로써 양자군 $G$ 를 얻으며, 이는 표현 범주 구조를 유지한다.