[논문 리뷰] Worst Case to Average Case Reductions for Polynomials

Tali Kaufman, Shachar Lovett|ArXiv.org|2008. 06. 27.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 4인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 임의의 유한체 위에서 다항식의 편향이 낮은 랭크를 암시함을 증명하며, 그린과焘의 추측을 해결한다. 또한 다항식에 대한 최악의 경우에서 평균적인 경우로의 감소를 증명한다: 만약 차수-$d$ 다항식이 적은 수의 유계 차수 다항식에 의해 근사 가능하다면, 그 다항식은 이러한 다항식의 적은 수에 의해 정확히 계산될 수 있으며, 입력 크기와 무관한 명시적 상한을 제공한다.

ABSTRACT

A degree-$d$ polynomial $p$ in $n$ variables over a field $\F$ is {\em equidistributed} if it takes on each of its $|\F|$ values close to equally often, and {\em biased} otherwise. We say that $p$ has a {\em low rank} if it can be expressed as a bounded combination of polynomials of lower degree. Green and Tao [gt07] have shown that bias imply low rank over large fields (i.e. for the case $d < |\F|$). They have also conjectured that bias imply low rank over general fields. In this work we affirmatively answer their conjecture. Using this result we obtain a general worst case to average case reductions for polynomials. That is, we show that a polynomial that can be {\em approximated} by few polynomials of bounded degree, can be {\em computed} by few polynomials of bounded degree. We derive some relations between our results to the construction of pseudorandom generators, and to the question of testing concise representations.

연구 동기 및 목표

• 모든 유한체, 특히 큰 체들 뿐 아니라 일반적인 체들에서도 다항식의 편향이 낮은 랭크를 암시한다는 그린과焘의 추측을 해결하기 위해.
• 다항식에 대한 최악의 경우에서 평균적인 경우로의 감소를 설정하여, 적은 수의 저차수 다항식에 의해 근사 가능한 다항식이 적은 수의 이러한 다항식에 의해 정확히 계산될 수 있음을 보여주기 위해.
• 주어진 다항식을 계산하거나 근사하기 위해 필요한 저차수 다항식의 수에 대한 차원에 영향을 받지 않는 명시적 상한을 제공하기 위해.
• 큰 체에서의 결과를 일반적인 유한체로 확장하여, 편향이 낮은 랭크를 암시하는 현상이 체의 크기에 관계없이 안정적임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 차수 $d$ 에 대한 귀납법을 통해 정리 2를 증명하며, 만약 차수-$d$ 다항식의 편향이 $\delta > 0$ 이상이라면, 그 $d$-번째 순서의 랭크가 $c(d,\delta)$ 이하로 유계임을 보인다.
• 낮은 랭크 분해의 기초로 $p(X+a) - p(X)$ 형태의 도함수를 사용하여, 랭크가 $n$ 과 무관하게 유계임을 보장한다.
• 근사 함수 $F(g_1, \dots, g_c)$ 에 대한 푸리에 분석을 적용하여, 비중이 없지 않은 푸리에 계수를 식별하며, 이는 편향이 있는 다항식 $p' = p - \sum \alpha_i g_i$ 와 대응된다.
• 편향이 있는 $p'$ 에 정리 2 를 적용하여, 이를 유한한 수의 도함수의 함수로 표현하고, 이 도함수들을 선형 조합 $\sum \alpha_i g_i$ 와 조합하여 $p$ 를 재구성한다.
• 초입방체와 $\mathbb{F}^n$ 내의 영역에 대한 확률론적 및 조합론적 추론을 사용하여, 만약 $p$ 가 거의 모든 영역에서 상수이면 전역적으로도 상수임을 보인다.
• 만약 $p$ 가 영역의 $1 - 2^{-(d+2)}$ 의 분율에서 상수이면, 전역적으로 상수임을 보이며, 이는 $d+1$-중 도함수 항등식 $\sum_{I \subseteq [d+1]} (-1)^{|I|} p(x + y_I) = 0$ 을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 편향이 낮은 랭크를 암시하는 현상은 큰 체 뿐 아니라 모든 유한체에서 성립하는가, 아니면 큰 체에서만 성립하는가?
• RQ2 일정 수의 유계 차수 다항식에 의해 근사 가능한 다항식은 일정 수의 이러한 다항식에 의해 정확히 계산될 수 있는가?
• RQ3 일반적인 유한체에서 랭크는 편향 $\delta$ 와 차수 $d$ 에 대해 어떤 정량적 의존성을 가지는가?
• RQ4 다항식의 도함수의 구조는 그 랭크와 편향과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 다항식 계산의 최악의 경우 복잡도 상한을, 다항식의 구조적 성질을 통해 평균적인 근사 상한으로 감소시킬 수 있는가?

주요 결과

• 정리 2 는 모든 유한체에서 편향이 낮은 랭크를 암시함을 확인한다: $\text{bias}(p) \geq \delta > 0$ 이면 $\text{rank}_{d-1}(p) \leq c(d,\delta)$ 이며, $c$ 는 $n$ 과 무관하다.
• 랭크는 오직 $p(X+a) - p(X)$ 형태의 도함수들만을 사용하여 달성되며, 이들은 모두 차수 $\leq d-1$ 인 다항식이다.
• 정리 3 은 최악의 경우에서 평균적인 경우로의 감소를 설정한다: 만약 차수-$d$ 다항식 $p$ 가 $c$ 개의 차수 $k$ 다항식에 의해 $\delta$-근사 가능하다면, $p$ 는 $c' = c'(d,c,k)$ 개의 차수 $\leq d-1$ 다항식에 의해 정확히 계산될 수 있으며, 이는 $n$ 과 무관하다.
• 정확한 표현에서의 근사 다항식은 $p$ 의 도함수 또는 $g_j$ 의 도함수들로 이루어져 있어 차수는 유계이고 명시적인 구조를 가진다.
• 증명은 근사에서 편향이 있는 성분을 추출하기 위해 푸리에 분석을 사용하며, 이는 정리 2 를 통해 분해된다.
• 결과는 모든 유한체에서 균일하게 성립하며, 편향이 낮은 랭크를 암시하는 현상이 큰 체에 국한되지 않고, 오히려 모든 체에서 안정적임을 보여주며, 이는 과거의 골드스워르즈 노름에 대한 역추측과는 달리 그렇다.