[논문 리뷰] $\wp$-adic continuous families of Drinfeld eigenforms of finite slope

Shin Hattori|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 18.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 함수체 상에서 유한 기울기의 드리플레인 특성형식에 대한 p진 연속적 가중치 가중치 가중치 가중치를 구성하며, 히다 이론을 드리플레인 모듈라 설정으로 일반화한다. 작은 기울기 조건과 수준에 차수 1 소수 인수를 가질 경우, 헤크 기호가 가중치를 따라 p진적으로 연속적으로 변함을 증명하며, 기울기 k에서 더 높은 기울기 k'로의 특성형식을 제어된 ℘-진 합동으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $p$ be a rational prime, $v_p$ the normalized $p$-adic valuation on $\mathbb{Z}$, $q>1$ a $p$-power and $A=\mathbb{F}_q[t]$. Let $\wp\in A$ be an irreducible polynomial and $\mathfrak{n}\in A$ a non-zero element which is prime to $\wp$. Let $k\geq 2$ and $r\geq 1$ be integers. We denote by $S_k(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ the space of Drinfeld cuspforms of level $Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r)$ and weight $k$ for $A$. Let $n\geq 1$ be an integer and $a\geq 0$ a rational number. Suppose that $\mathfrak{n}\wp$ has a prime factor of degree one and the generalized eigenspace in $S_k(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ of slope $a$ is one-dimensional. In this paper, under an assumption that $a$ is sufficiently small, we construct a family $\{F_{k'}\mid v_p(k'-k)\geq \log_p(p^n+a)\}$ of Hecke eigenforms $F_{k'}\in S_{k'}(Γ_1(\mathfrak{n}\wp^r))$ of slope $a$ such that, for any $Q\in A$, the Hecke eigenvalues of $F_k$ and $F_{k'}$ at $Q$ are congruent modulo $\wp^κ$ with some $κ>p^{v_p(k'-k)}-p^n-a$.

연구 동기 및 목표

• 함수체 설정에서 수체의 Hida 가중치 유형의 p진 가중치를 드리플레인 모듈라 형식으로 확장하기.
• 표준 특성 다항식 방법을 방해하는 드리플레인의 경우 비노에테리안 기반 환의 부재를 다루기.
• 유한 기울기의 드리플레인 특성형식의 p진 가중치 가중치에서 Hecke 기호의 연속적 변화를 확립하기.
• 특정 기울기 및 기울기 조건 하에서 가변 기울기에서 Hecke 연산자의 기호가 고차수 ℘의 합동으로 유지됨을 증명하기.

제안 방법

• 작은 기울기 조건 하에서, $ v_p(k' - k) \to \frac{1}{2} $ 인 기울기 $ k' $ 에 대해 $ S_{k'}(\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)) $ 내에서 Hecke 특성형식 $ F_{k'} $ 의 가중치를 구성한다.
• 기울기 $ a $ 의 일반화된 고유공간이 1차원이며, $ a < \text{min}\big\brace{D(n,d,\theta), k-1\big\brace} $ 를 가정한다. 여기서 $ d = [\tilde{\rho}_1(\frak{p}):\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)] $ 이다.
• 특정 $ \frak{p} $-진 값 조건을 적용한다: $ v_{\frak{p}}(\tilde{\rho}_\frak{p}(\tilde{\rho}_Q(F_{k'}) - \tilde{\rho}_Q(F_k))) > p^{v_p(k'-k)} - p^n - a $, 이는 기호의 연속성을 보장한다.
• 기본적으로 $ \frak{n}\frak{p} $ 에 차수 1 소수 인수 $ \frak{p} $ 가 존재함을 이용하여 모듈라 공간의 구조와 헤크 작용을 제어할 수 있다.
• $ \frak{p} $-진 완비화 $ \bb{C}_{\frak{p}} $ 와 정규화된 $ \frak{p} $-진 값 함수 $ v_{\frak{p}} $ 를 사용하여 기호 합동을 정의한다.
• 드리플레인 모듈라 형식에서의 조화 코사이클 이론과 헤크 연산자 이론을 사용하며, 저기울기 사례(예: $ k=10,19 $)에서의 명시적 계산을 통해 합동을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체의 Hida 가중치 유형과 유사하게 함수체 설정에서 유한 기울기의 드리플레인 특성형식의 p진 가중치를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기반 환이 비노에테리안일 경우, 기울기의 연속적인 변화는 어떻게 달성되는가?
• RQ3 어떤 조건이 기울기가 변화하는 동안 Hecke 연산자의 기호가 고차수 $ \frak{p} $ 의 합동으로 유지되는지를 보장하는가?
• RQ4 이러한 가중치 가중치에서 기호 차이의 $ \frak{p} $-진 값에 대한 정확한 경계는 무엇인가?
• RQ5 기울기 0인 비자명한 특성형식 중 모든 Hecke 기호가 일정한 형태는 존재하는가?

주요 결과

• $ k \to k' $ 이며 $ v_p(k' - k) \to \frac{1}{2} $ 인 경우, 조건 $ a < D(n,d,\theta) $ 와 $ d(k,a) = 1 $ 를 만족할 때, $ S_{k'}(\tilde{\rho}_1(\frak{n}, \frak{p}^r)) $ 내에서 기울기 $ a $ 의 드리플레인 특성형식 $ F_{k'} $ 이 존재한다.
• Hecke 기호 $ \tilde{\rho}_Q(F_{k'}) $ 과 $ \tilde{\rho}_Q(F_k) $ 는 $ v_{\frak{p}}(\tilde{\rho}_\frak{p}(\tilde{\rho}_Q(F_{k'}) - \tilde{\rho}_Q(F_k))) > p^{v_p(k'-k)} - p^n - a $ 를 만족하며, 이는 강력한 $ \frak{p} $-진 연속성을 보여준다.
• $ \frak{n} = 1, \frak{p} = t, r=1 $ 인 경우, 경계는 $ D(1,1,1) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) $ 가 되며, $ k \to k' $ 에서 기호 합동이 $ t^{q^s - p} $ 모듈로 성립한다.
• 기울기 0 특성형식 $ S_k(\tilde{\rho}_1(t)) $ 에서는 모든 Hecke 기호 $ \tilde{\rho}_Q(F_k) = 1 $ 이며, 이는 고차 기울기로의 올림과 유일성에 의해 증명된다.
• $ p = q = 3 $, $ k = 10 $, $ k' = 19 $ 인 기울기 1의 경우, 기호 차이 $ \tilde{\rho}_t(G_{10}) - \tilde{\rho}_t(G_{19}) $ 의 $ t $-진 값은 정확히 9이며, 이는 경계 $ > 5 $ 를 충족한다.
• Hecke 기호는 낮은 수준의 형식에서 안정화되지 않으며, 이는 형식이 진정으로 새로운 형태이며 $ t $-안정화가 아님을 나타낸다.