[논문 리뷰] Wrapped Floer cohomology and Lagrangian correspondences

Yuan Gao|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 11.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 리iouville 다양체에서 라그랑주 상응관계를 사용하여 랩드 후카야 카테고리의 함자적 구조를 수립하며, 이에 따라 이러한 상응관계의 기하적 합성은 쿠이트드 랩드 호모로지에서 자연스러운 동형사상에 의해 유도된 함자를 나타냄을 증명한다. 주요 기여는 제품 다양체 위에서 두 버전의 랩드 호모로지 호모로지 사이의 준동형사상으로, 이는 함수의 표현 가능성 가능성을 보장한다.

ABSTRACT

We study Lagrangian correspondences between Liouville manifolds and construct functors between wrapped Fukaya categories. The study naturally brings up the question on comparing two versions of wrapped Fukaya categories of the product manifold, which we prove quasi-isomorphism on the level of wrapped Floer cohomology. To prove representability of these functors constructed from Lagrangian correspondences, we introduce the geometric compositions of Lagrangian correspondences under wrapping, as new classes of objects in the wrapped Fukaya category, which we prove to represent the functors by establishing a canonical isomorphism of quilted version of wrapped Floer cohomology under geometric composition.

연구 동기 및 목표

• 리iouville 다양체 사이의 동형사상이 아닌 라그랑주 상응관계를 이용하여 심플렉틱 위상수학에서 함자적 성질을 확장하는 것.
• 랩드 후카야 카테고리 설정에서 라그랑주 상응관계에 의해 유도된 함수의 표현 가능성 부족 문제를 해결하는 것.
• 쿠이트드 랩드 호모로지 호모로지와 기하적 합성 사이의 자연스러운 동형사상 수립을 통해 이러한 함수의 표현 가능성 증명하는 것.
• 랩드 후카야 카테고리 간의 함수 정의에 있어 기본적인 문제를 해결하기 위해 제품 다양체 위에서 두 버전의 랩드 호모로지 호모로지 간의 비교를 수행하는 것.
• 비콤팩트이고 랩드된 설정으로 Wehrheim-Woodward의 쿠이트드 호모로지 이론을 일반화하여 기하적 합성에서의 일관성을 보장하는 것.

제안 방법

• Wehrheim과 Woodward의 쿠이트드 호모로지 호모로지 프레임워크를 리iouville 다양체의 랩드 설정에 적응시키며, 쿠이트드 표면에서 비균일 편미분 해석적 맵을 사용한다.
• 기하적 합성을 랩드 후카야 카테고리의 새로운 유형의 객체로 정의하며, 이는 편미분 해석적 맵을 패치 간에 붙임으로써 구성된다.
• 기하적 합성의 랩드 호모로지 호모로지와 유도된 함수의 사상 공간 사이의 자연스러운 동형사상을 수립하여 표현 가능성 증명한다.
• 구멍이 난 리만 표면에서 비균일 편미분 해석적 맵의 방향성 이론을 사용하며, 방향성 선다발 $ o_{ heta}^{-} $, $ o_{( heta^0, heta^1)}^{-1} $, 및 $ o_e $를 포함한 명시적 결정성 선다발 계산을 수행한다.
• 마디가 있는 경계 성분과 스트립 유사 끝을 가진 컴ponent들 사이에서 선형화된 코시-리만 연산자의 붙임 공식을 적용하여 쿠이트드 맵의 매니폴드 공간을 연결한다.
• 스플릿 해밀토니안과 적합한 해밀토니안 간의 호모토피를 구성함으로써 제품 다양체 위에서 두 버전의 랩드 호모로지 호모로지 사이의 준동형사상을 증명하며, 변형에 대한 불변성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리iouville 다양체 사이의 라그랑주 상응관계는 그들의 랩드 후카야 카테고리 간에 잘 정의된 $ A_∞ $-함수를 유도할 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 상응관계에 의해 유도된 함수는 랩드 후카야 카테고리 내에서 기하적 합성에 의해 표현될 수 있는가?
• RQ3 제품 다양체 위에서 스플릿 해밀토니안과 적합한 해밀토니안을 사용해 정의된 두 버전의 랩드 호모로지 호모로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 쿠이트드 호모로지 호모로지가 라그랑주 상응관계와 관련된 함수의 합성 방식을 어떻게 코딩하는가?
• RQ5 비균일 편미분 해석적 맵의 매니폴드 공간에서의 방향성 자료는 어떻게 일관되게 정의되고 쿠이트드 표면 전반에 걸쳐 붙일 수 있는가?

주요 결과

• 라그랑주 상응관계의 기하적 합성은 쿠이트드 랩드 호모로지 호모로지의 자연스러운 동형사상에 의해 랩드 후카야 카테고리에서 상응관계에 의해 유도된 함수를 표현한다.
• 제품 다양체 위에서 스플릿 해밀토니안과 적합한 해밀토니안을 사용한 두 버전의 랩드 호모로지 호모로지 사이에 준동형사상이 수립되었으며, 이는 해밀토니안 변형에 대한 불변성을 보장한다.
• 비균일 편미분 해석적 쿠이트드 맵의 매니폴드 공간은 다음의 텐서곱으로 주어지는 자연스러운 방향성을 가진다: $ igwedge^{ ext{top}} T ilde{ abla} \to o_{( heta^0, heta^1)}^{-1} \bigotimes o_e \bigotimes o_ heta $.
• 쿠이트드 맵의 매니폴드 공간에 대한 방향성은 스트립과 색인의 구성 요소 매니폴드 공간의 방향성과 일관되며, 코시-리만 연산자의 붙임 공식을 통해 검증된다.
• 스핀 구조와 캐논리컬 번들의 자명화에 대한 선택에 관계없이 라그랑주 상응관계를 통한 함수의 구성은 잘 정의되어 있으며 독립적이다.
• 함수의 표현 가능성은 정확히 기하적 합성에 의해 달성되며, 이는 랩드 후카야 카테고리에서 사상 공간을 실현하는 보편적 객체로 작용한다.