[논문 리뷰] Wrinkling hierarchy in constrained thin sheets from suspended graphene to curtains

Hugues Vandeparre, Miguel Piñeirúa외 8명|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2010. 12. 20.

Advanced Materials and Mechanics참고 문헌 2인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 경계에 의해 봉인된 얇은 시트에서 계층적인 주름의 형성에 있어 '주름점(wrinklons)'—융합하는 주름 사이의 국소적 전이 영역—를 기본 빌딩 블록으로 삼는 보편적인 스케일링 체계를 제안한다. 이 이론은 나노미터 수준의 휘어진 그래핀에서부터 수미터 수준의 매달린 커튼에 이르기까지 다양한 척도에서 검증되었으며, 굽힘 에너지와 인장 에너지의 균형을 통해 자가유사적인 파장 진동 λ ∼ x^m를 설명한다. 경량 시트의 경우 m ≈ 2/3이고, 무거운 시트 또는 인장 상태의 그래핀의 경우 m ≈ 1/2이다.

ABSTRACT

We show that thin sheets under boundary confinement spontaneously generate a universal self-similar hierarchy of wrinkles. From simple geometry arguments and energy scalings, we develop a formalism based on wrinklons, the transition zone in the merging of two wrinkles, as building-blocks of the global pattern. Contrary to the case of crumple paper where elastic energy is focused, this transition is described as smooth in agreement with a recent numerical work. This formalism is validated from hundreds of nm for graphene sheets to meters for ordinary curtains, which shows the universality of our description. We finally describe the effect of an external tension to the distribution of the wrinkles.

연구 동기 및 목표

• 한쪽 가장자리에서 봉인된 얇은 시트에서 관찰되는 보편적인 자가유사적 계층적 주름 패턴을 설명하는 것.
• 주름점—융합하는 주름 사이의 국소적 전이 영역—이 전체 주름 패턴의 기본 빌딩 블록으로서의 역할을 규명하고 특성화하는 것.
• 재료 성질, 두께, 중력 또는 외부 인장력과 같은 다양한 외부 힘에 의해 영향을 받는 얇은 시트의 거동을 통합하는 스케일링 체계를 개발하는 것.
• 이론 모델을 다양한 시스템—흡착된 이중층 그래핀, 고무 커튼, 천 커튼, 폴리스티렌 필름—에 대해 실험적으로 검증하는 것.
• 에너지 균형과 스케일링 법칙을 통해 주름 패턴에서 인장력 지배 영역과 인장력 지배 영역 간의 전이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 시트를 횡방향(y)으로 비가소성 조건을 만족하는 얇은 탄성 막으로 모델링하며, 주어진 불규칙한 진동이 효과적인 횡방향 압축 Δ ∼ (A/λ)^2를 유도한다고 가정한다.
• 굽힘 에너지 밀도는 u_b ∼ Eh³Δ/λ²로 표현되며, 여기서 E는 양모듈러스, h는 두께, A는 진폭, λ는 파장이다.
• 전체 에너지를 최소화하기 위해 굽힘 에너지 U_b와 인장/인장 에너지 U_t ∼ TΔλ³L⁻¹을 균형 잡는다. 여기서 T는 종방향 인장력이다.
• 에너지 최소화에 기반해 주름점의 길이 L(λ) ∼ λ²/h × √(T/(Eh))를 유도하며, 이는 파장의 공간적 진동을 지배한다.
• 최종적으로 예측된 파장 진동은 λ(x)/h ∼ (Eh/T)^{1/4} × (x/h)^{1/2}이며, 이는 인장력 지배 시스템에 대해 유효하다.
• 이론 모델은 실험 데이터와 비교되었으며, 피팅 매개변수 없이도 무거운 시트와 그래핀에 대해 데이터가 하나의 마스터 커브에 수렴함을 보여, 이론의 보편성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계에 의해 봉인된 얇은 시트가 어떻게 매우 다른 길이 척도 사이에서 자가유사적 계층적 주름 패턴을 자발적으로 생성하는가?
• RQ2 국소적 전이 영역인 '주름점'이 전체 계층적 주름 패턴 형성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 굽힘 에너지와 인장 에너지의 균형이 봉인된 얇은 시트에서 파장 λ(x)의 공간적 진동을 어떻게 지배하는가?
• RQ4 왜 다양한 재료(그래핀, 고무, 천, 폴리스티렌)가 λ ∼ x^m에서 m ≈ 1/2 또는 2/3의 유사한 비율 법칙 스킴을 보이는가?
• RQ5 주름 패턴에서 인장력 지배 영역(m ≈ 1/2)과 인장력 지배 영역(m ≈ 2/3) 간의 전이 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 봉인된 가장자리에서 거리 x에 따라 주름의 파장 λ가 λ ∼ x^m로 진동하며, 경량 시트(예: 종이, 짧은 천)의 경우 m ≈ 2/3이고, 무거운 시트(예: 고무, 천, 인장 상태의 그래핀)의 경우 m ≈ 1/2이다.
• 이론적 예측인 λ(x)/h ∼ (Eh/T)^{1/4} × (x/h)^{1/2}는 피팅 매개변수 없이도 무거운 시트와 그래핀의 실험 데이터와 정확히 일치하여 이론의 보편성을 확인한다.
• 인장력 지배 영역으로의 전이에 대한 임계 길이 척도는 x*/h ∼ (Eh/T)^{3/2}Δ이며, 여기서 Δ은 횡방향 압축이다.
• 중력 지배 커튼의 경우, 임계 높이 H_c ∼ h(E/ρgh)^{3/5}Δ^{2/5}는 인장력이 지배적으로 되는 조건을 결정하며, 일반적인 천 커튼의 경우 H_c ≈ 1 m이다.
• 에너지 최소화에 기반해 유도된 주름점 길이 L(λ) ∼ λ²/h × √(T/(Eh))는 자가유사 패턴 형성의 핵심을 지배한다.
• 흡착된 그래핀(λ ∼ x^0.45±0.02), 고무 커튼(m ≈ 1/2), 천 커튼(m ≈ 1/2)의 실험 데이터는 하나의 마스터 커브에 수렴하여 6개 이상의 스케일에 걸쳐 스케일링 이론의 유효성을 검증한다.